第3章 第4节 第3课时 题型细研(2)——由不等式恒成立求参数（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第四节　第3课时　题型细研(2)——由不等式恒成立求参数 开始 1 第3课时　题型细研(2)——由不等式恒成立求参数 [考法精研] [例1]　(2020·新高考全国卷Ⅰ) 已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a. (1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f(x)≥1，求a的取值范围． [思维建模] 1．分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 2．求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关” 转化关 通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min) 求最值关 求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题 “课时验收评价”见“课时验收评价（二十二）” (单击进入电子文档) 22 谢 谢 观 看 23 [解]　(1)当a＝e时，f(x)＝ex－ln x＋1， f′(x)＝ex－，从而f′(1)＝e－1， 曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)， 即y＝(e－1)x＋2. 直线y＝(e－1)x＋2在x轴、y轴上的截距分别为，2.因此所求三角形的面积为. (2)当0<a<1时，f(1)＝a＋ln a<1. 当a＝1时，f(x)＝ex－1－ln x，f′(x)＝ex－1－. 当x∈(0,1)时，f′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. 所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1，从而f(x)≥1. 当a>1时，f(x)＝aex－1－ln x＋ln a>ex－1－ln x≥1. 综上，a的取值范围是[1，＋∞)． [例2]　(2020·全国卷Ⅰ) 已知函数f(x)＝ex＋ax2－x. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围． [解题观摩]　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1.令m(x)＝f′(x)＝ex＋2x－1， 则m′(x)＝ex＋2>0. 所以m(x)在R上单调递增， 即f′(x)在R上单调递增． 注意到f′(0)＝0，故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)法一： f(x)≥x3＋1等价于e－x≤1. 设函数g(x)＝e－x(x≥0)， 则g′(x)＝－e－x ＝－x[x2－(2a＋3)x＋4a＋2]e－x ＝－x(x－2a－1)(x－2)e－x. ①若2a＋1≤0，即a≤－，则当x∈(0,2)时，g′(x)＞0.所以g(x)在(0,2)上单调递增，而g(0)＝1，故当x∈(0,2)时，g(x)＞1，不符合题意． ①②③根据导函数的零点分类讨论，确定原函数的单调性 则当x∈(0,2a＋1)∪(2，＋∞)时，g′(x)＜0； 当x∈(2a＋1,2)时，g′(x)＞0. 所以g(x)在(0,2a＋1)，(2，＋∞)上单调递减，在(2a＋1,2)上单调递增． 由于g(0)＝1， 所以g(x)≤1当且仅当g(2)＝(7－4a)·e－2≤1， 即a≥.所以当≤a＜时，g(x)≤1. ③若2a＋1≥2，即a≥，则g(x)≤e－x. 由于0∈， 故由②可得e－x≤1.故当a≥时，g(x)≤1.综上，a的取值范围是. 法二：由f(x)≥x3＋1， 得ex＋ax2－x≥x3＋1(x≥0)． 当x＞0时，分离参数得a≥－. 分离参数a，把不等式恒成立转化为函数的最值问题 令g(x)＝－(x＞0)， 令h(x)＝ex－x2－x－1(x＞0)， 则h′(x)＝ex－x－1，h″(x)＝ex－1＞0， 所以h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)＞h′(0)＝0. 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．所以h(x)＞h(0)＝0恒成立． 即ex－x2－x－1＞0恒成立． 故当x∈(0,2)时，g′(x)＞0，g(x)在(0,2)上单调递增． 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(2，＋∞)上单调递减． 因此g(x)max＝g(2)＝. 综上，实数a的取值范围是. [针对训练] 1．已知函数f(x)＝ex－mx2＋(m－2)x－m(m∈R)，f′(x)为f(x)的导函数． (1)当m＝1时，求f′(x)的极值； (2)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求m的取值范围． 解：(1)当