第2章 第2节 函数的单调性与最大(小)值（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第二节　函数的单调性与最大(小)值 开始 1 第二节　函数的单调性与最大(小)值 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数单调性与最值的作用和实际意义.   增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有__________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，此时称f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有__________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，此时称f(x)在区间D上是减函数 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 上升 下降 续表 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上___________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 单调递增 单调递减 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ∀x∈I，都有___________； ∃x0∈I，使得__________ ∀x∈I，都有____________； ∃x0∈I，使得__________ 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x)≥M f(x0)＝M f(x0)＝M [一“点”就过] 判断函数的单调性或单调区间的方法 定义法 一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论 图象法 若函数f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定函数的单调区间 导数法 先求导数，再利用导数值的正负确定函数的单调区间 性质法 对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断 复合法 对于复合函数，先将函数f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，然后讨论(判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断 [方法技巧] 利用函数的单调性比较大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较．对于选择题、填空题，通常选用数形结合的方法进行求解．　　 [方法技巧] 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　　 [方法技巧] 利用函数单调性求参数的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． (2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值的大小．　　 [方法技巧]　求函数最值的5种常用方法 单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求最值 图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值 基本不等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件，然后用基本不等式求出最值 导数法 先求出导函数，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 换元法 对于比较复杂的函数，可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值 “课时验收评价”见“课时跟踪检测（七）” (单击进入电子文档) 52 谢 谢 观 看 53 图象 描述 自左向右看图象是_____的 自左向右看图象是_____的 3．与函数单调性有关的常用结论 (1)若∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 ①>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在区间D上单调递增． ②<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在区间D上单调递减． (2)y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)和(0,1)． (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 1．(多选)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　 ) A．y＝－x B．y＝x2－x C．y＝－x2－2x D．y＝ex 答案：AC 2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是(　 ) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：A 解析：由题设得解得－1≤x<. 3．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)<f的实数x的取值范围