第2章 第9节 函数与方程（课件PPT）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第九节　函数与方程 开始 1 第九节　函数与方程 1.理解函数的零点与方程解的关系. 2.了解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.能借用工具用二分法求方程的近似解.了解二分法求方程的近似解具有一般性. 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使_______的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与_____有公共点⇔函数y＝f(x)有______． f(x)＝0 x轴 零点 (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有__________，那么，函数y＝f(x)在区间_______内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得_________，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且___________的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． f(a)f(b)<0 (a，b) f(c)＝0 f(a)f(b)<0 3．二次函数图象与零点的关系 (x1,0) 2 1 0 答案：B　 解析：由题表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点． 答案：D　 解析：因为函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，所以尽管f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解． [一“点”就过] 对函数零点存在定理的理解 存在性 当函数y＝f(x)满足定理的条件时，函数在区间(a，b)内至少存在一个零点 唯一性 在满足定理的条件下，若函数f(x)在区间(a，b)上又是单调函数，则该函数在区间(a，b)内只有一个零点 不可 逆性 若函数f(x)在区间(a，b)有零点，不一定有f(x)的图象是一条连续不断的曲线，也不一定有f(a)f(b)<0成立 [一“点”就过] 确定函数零点所在区间的常用方法 利用函数零点存在定理 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点 数形 结合法 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 [方法技巧]　函数零点个数的判定方法 直接 求零点 令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点 利用函数 零点存在 定理 利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点 图象法 画两个函数的图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 答案：C　 解析：因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由函数零点存在定理知，方程的根所在区间为(2.5,2.75)． 二、练创新小题，发展创新思维 3．(借助数学文化)我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢．”翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇．这个问题体现了古代对数列问题的研究．现将墙的厚度改为200尺，则至少需要多少天时间才能打穿？(　 ) A．6 B．7 C．8 D．9 “课时验收评价”见“课时验收评价（十四）” (单击进入电子文档) 43 谢 谢 观 看 44 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) ______ 无 零点个数 _____ _____ _____ 4．常用结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根． (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件． 1．函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为(　 ) x 1 2 3