专题四.最小公倍数与最大公因数(2)-【通城学典】2024年五年级数学暑期升级训练（西师大版）

接天莲叶无穷碧,映日荷花别样红。———[宋]杨万里 采蜜角 27 专题四 最小公倍数与最大公因数(2) 最大公因数与最小公倍数是小学数学中非常重要的知识点,不仅要求学生掌握最大公因 数、最小公倍数的概念,还要求学生会找出几个数的最大公因数与最小公倍数,并能用相关的 知识解决实际问题。 类型一 用最大公因数解决问题 例1 有三根圆柱形木料,它们的长度分别为 27dm,36dm和63dm。现在要把它们都截成 相等的小段,且使每小段的长度最长,不能有 剩余。一共可以截成多少段? 点拨:要把长度不等的三根圆柱形木料截成相 等的小段,且不能有剩余,每小段的长度值必 须是 27,36,63的公因数􀪍􀪍􀪍 。题中还要求使每小 段的长度最长,所以每小段的长度值就是27, 36,63的最大公因数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,求出每小段的长度后就 可以算出一共可以截成的段数。 解答: 锯木料问题 把几根不同长度的木料截成相等长度的小 段,且不能有剩余,求每小段最长是多少,就是求 这几根木料长度值的最大公因数。 类型二 用最小公倍数解决稍复杂的问题 例2 有一个自然数,被10除余7,被7除余4, 被4除余1。这个自然数最小是多少? 点拨:根据已知条件,可知把这个自然数增加 􀪍􀪍 3 􀪍 ,所得的数就正好能被10,7和4这三个数整 除,即用10,7和4的最小公倍数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 减去3就能 得到所求的数了。 解答: 用最小公倍数求被除数 解决此类问题的关键在于观察数量之间的关 系。若每次除数和余数的差都相同,则用几个除 数的最小公倍数减去除数和余数的差即可求出这 个数;若每次除得的余数都相同,则用几个除数的 最小公倍数加上余数即可求出这个数。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 二 整合提优 答案讲解 采蜜角 一寸光阴一寸金,寸金难买寸光阴。28 1. 一张长方形纸,长75厘米,宽6分米。现在要把它刚好裁成一些同样大小的小正方形纸片,并 且小正方形纸片的边长为整厘米数。要使裁得的小正方形纸片面积最大,那么这张长方形纸 可以裁成多少张小正方形纸片? 2. 有一个长80厘米、宽60厘米、高112厘米的长方体储冰容器,往里面装满大小相同的正方体 冰块(冰块的棱长是整厘米数),这个容器最少能装多少块冰块? (容器厚度忽略不计) 3. 如果把110本练习本平均分给五(1)班同学,那么多5本;如果把210本练习本平均分给这个 班同学,那么正好分完;如果把240本练习本平均分给这班同学,那么还少5本。五(1)班最多 有多少名同学? 4. 甲、乙、丙为三个互相啮合的齿轮,当甲齿轮转6圈时,乙齿轮转7 圈,丙齿轮转2 圈,则这三个 齿轮的齿数最少分别是多少? 5. 已知某小学五年级学生超过100人,且不足140人。若将他们按每组12人分组,则多3人;若 将他们按每组8人分组,则也多3人。该小学五年级学生有多少人? 数学(西师版)五年级 82 差尽可能小,所以这两个质数分别是37和41。综上 可知,这三个质数分别是2,37和41,将这三个质数相 乘即可求出最大的积。 5. 第一组:169,33,14,75;第二组:143,39,30,35或 第一组:169,33,30,35;第二组:143,39,14,75 解析:先分解质因数,14=2×7,33=3×11,35=5× 7,30=2×3×5,75=3×5×5,39=3×13,143=11× 13,169=13×13。要使两组数的乘积相等,就要使两 组中的质因数一样,并且相同质因数的个数相同。所 以可分为169,33,14,75和143,39,30,35或169,33, 30,35和143,39,14,75。 专题三 最小公倍数与最大公因数(1) [例题导引] 例1 解答:(1) 10的倍数有10,20,30,40,50,60, 70,80,90,100,110,120,…;12的倍数有12,24,36, 48,60,72,84,96,108,120,…;20的倍数有20,40, 60,80,100,120,… 10,12和20的公倍数有60, 120,… 10,12和20的最小公倍数是60 (2) 30的 因数有1,2,3,5,6,10,15,30;24的因数有1,2,3,4, 6,8,12,24;42的因数有1,2,3,6,7,14,21,42 30