专题三.最小公倍数与最大公因数(1)-【通城学典】2024年五年级数学暑期升级训练（西师大版）

华罗庚被誉为“中国现代数学之父”,是中国在世界上最有影响力的数学家之一。 采蜜角 25 专题三 最小公倍数与最大公因数(1) 几个自然数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,公倍数中最小的一个数叫做这几个数的 最小公倍数;几个自然数公有的因数叫做这几个数的公因数,公因数中最大的一个数叫做这几 个数的最大公因数。求最小公倍数和最大公因数的方法有很多种,常见的有列举法、短除法和 分解质因数法等。 类型一 求三个数的最小公倍数和最大公 因数 例1 (1) 求10,12和20的最小公倍数。 (2) 求30,24和42的最大公因数。 点拨:(1) 先按从小到大 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的顺序分别列举出 10,12和20的倍数,然后找出它们的公倍数, 最后从公倍数中找出最小 􀪍􀪍 的一个。也可以先 求出其中两个数的最小公倍数 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,再求这两个数 的最小公倍数和第三个数的最小公倍数,即这 三个数的最小公倍数。 (2) 先按从小到大 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 的顺序分别列举出30,24 和42的因数,然后找出它们的公因数,最后从 公因数中找出最大 􀪍􀪍 的一个。也可以将这三个 数分解质因数 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 ,从中算出三个数公有的质因数 的乘积 􀪍􀪍 即可。还可以用短除法 􀪍􀪍􀪍􀪍 求三个数的最 大公因数。 解答: 求三个数的最小公倍数和最大公因数的方法 求三个数的最小公倍数时可以运用列举法, 也可以先求出其中两个数的最小公倍数,再求出 这两个数的最小公倍数和第三个数的最小公倍 数。求三个数的最大公因数可以用列举法、分解 质因数法和短除法等。 类型二 求与最大公因数有关的两个自 然数 例2 两个不同自然数的和是168,它们的最大 公因数是24。这两个自然数可能是多少? 点拨:因为这两个自然数的最大公因数是24, 所以这两个自然数都是24的倍数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 。设这两个 自然数分别是A 和B,且A=24a,B=24b (a,b是两个不同的自然数)。根据题意,可得 24a+24b=168,等号两边同时除以24,可得 a+b=168÷24=7,7即为a+b的和􀪍 ,进而运 用分解法求出这两个自然数。 解答: 运用分解法求与最大公因数 有关的两个自然数 解决“已知两个不同自然数的和与它们的最 大公因数,求这两个自然数”的问题时,可以先用 它们的和除以它们的最大公因数,再把求出的商 分解成两个不同自然数的和(分解成的两个自然 数必须只有公因数1),最后用分解出的两个不同 的自然数分别乘最大公因数,即可得到所求的自 然数。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 二 整合提优 答案讲解 采蜜角 七八个星天外,两三点雨山前。———[宋]辛弃疾26 1. 求下面各组数的最小公倍数。 6,10和15 12,14和42 2. 求下面各组数的最大公因数。 8,16和24 24,36和96 3. 已知两个不同自然数的和是125,它们的最大公因数是25,这两个自然数可能是多少? 4. 已知两个不同自然数的和是70,它们的最大公因数是7,这两个自然数的差可能是多少? 5. 已知两个不同自然数的积是5766,它们的最大公因数是31,这两个自然数可能是多少? 数学(西师版)五年级 82 差尽可能小,所以这两个质数分别是37和41。综上 可知,这三个质数分别是2,37和41,将这三个质数相 乘即可求出最大的积。 5. 第一组:169,33,14,75;第二组:143,39,30,35或 第一组:169,33,30,35;第二组:143,39,14,75 解析:先分解质因数,14=2×7,33=3×11,35=5× 7,30=2×3×5,75=3×5×5,39=3×13,143=11× 13,169=13×13。要使两组数的乘积相等,就要使两 组中的质因数一样,并且相同质因数的个数相同。所 以可分为169,33,14,75和143,39,30,35或169,33, 30,35和143,39,14,75。 专题三 最小公倍数与最大公因数(1) [例题导引] 例1 解答:(1) 10的倍数有10,20,30,40,50,60, 70,80,90,100,110,120,…;12的倍数有12,24,36, 48,60,72,84,96,108,120,…;20的倍数有20,40, 60,80