3.1勾股定理 同步练习 2023-2024学年苏科版八年级数学上册

3.1勾股定理（基础提优） 知识梳理 【知识点1】勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 特别说明： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . （4） 常见的勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、40、41； 【知识点2】勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中，所以． 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以． 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　 ，所以． 【典型例题】 题型一：勾股定理的证明 【例题】如图，已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证明勾股定理． 【变式训练】 1.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC 中，∠ACB=90°，若 AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明 a2+b2=c2； (2)如果大正方形的面积是 12，小正方形的面积是4，求(a+b)2的值． 2.如图①，是两个全等的直角三角形硬纸板（直角边分别为a，b，斜边为c）． (1)用这样的两个三角形构造成如图②的图形，请利用这个图形验证勾股定理． (2)假设图①中的直角三角形有若干个，请运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能验证勾股定理的图形，画出拼后的图形并利用这个图形验证勾股定理． 3.如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上， (1) 请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程） (2) 如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个． (3) 如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_______． 题型二：运用勾股定理解直角三角形 【例题】如图，在中，，D是BC的中点，垂足为D，交AB于点E，连接CE．若，，则BE的长为（  ） A．3 B． C．4 D． 【变式训练】 1．直角三角形的两条直角边长分别为2和3，那么它的斜边的长是（   ） A．或 B．4 C． D． 2.已知直角三角形的两条边长分别是3和4，那么这个三角形的第三条边的长为（  ） A．5 B．25 C． D．5或 3.如图，网格中的小正方形边长均为1，的三个顶点均在格点上，则AC的长度为（  ） A． B． C． D．25 4．在如图所示的直角三角形中，x=____． 5．如图，，，，．若，则AD的长为__________． 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=15，CD⊥AB于点D．求： (1)的长； (2)的长． 7.如图，在中，，，，CD是高．求CD的长． 题型三：勾股定理在面积中的运用 【例题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝5，S3＝16，则S2＝（　　） A．6 B． C．11 D．24 【变式训练】 1.如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，小正方形的面积为10，则（a+b）2的值为______． 2.已知Rt△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，则图中阴影部分面积为 _____． 3.如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为______． 4.如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块草坪的面积． 5.如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积． 【过关检测】 1、 选择题 1．下列各组数据分别是三角形的三边长，其中不能