2024届上海市高考数学新高考新教材新增知识系列：微专题 绝对值的三角不等式的证明与理解

微专题 绝对值的三角不等式|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|的证明与理解 【学生版】 知识梳理 相关知识准备 1、|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|及|a|+|b|分别具有什么关系? 【解析】 2、不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是什么? 【解析】不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|, 不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|, 3、绝对值不等式|a-c|≤|a-b|+|b-c|的几何解释是什么? 【解析】 定理(三角不等式): 对任意的实数、;有,且等号当且仅当时成立; 推论1:对任意的实数、;证明:,并指出等号成立的条件; 【提示】 推论2:对任意的实数、;证明:,并指出等号成立的条件; 【证明】 推论3:对任意的实数、;证明:,并指出等号成立的条件; 【提示】; 【证明】 推论4:对任意的实数、;证明:,并指出等号成立的条件; 【提示】; 【证明】 推论5:对任意的实数、;证明:,并指出等号成立的条件; 【提示】; 【证明】 推论6:对任意的实数、;证明:,并指出等号成立的条件; 综上,得 绝对值三角不等式: 对任意的实数、;则;此时右边:当且仅当时,等号成立;左边:等号当且仅当时,等号成立; 对任意的实数、;则;此时,右边等号当且仅当时,等号成立,左边等号当且仅当时,等号成立; 典题例析 例1、(1)下四个命题: ①若a,b∈R,则|a+b|-2|a|≤|a-b|; ②若|a-b|<1,则|a|<|b|+1; ③若|x|<2,|y|>3,则||<; ④若AB≠0,则lg≥( lg|A|+lg|B|). 其中正确的命题有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 (2)不等式≥1成立的充要条件是_. 【提示】 【解析】 【说明】本题考查了绝对值三角不等式的结构特点与“数学代换”的交汇; 1、绝对值的三角不等式:|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|的几何意义是:三角形任意两边之差小于第三边,三角形任意两边之和大于第三边. 2、对|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的诠释: 定理的构 成部分 特征 大小 关系 等号成立的条件 左端|a|-|b| 可能是负的 ≤中间部分 中间部分为|a+b|时,ab≤0,且|a|≥|b|时,左边的等号成立;中间部分为|a-b|时,ab≥0,且|a|≥|b|时,左边等号成立. 中间部分|a±b| 肯定是非负的 ≥左端 ≤右端 用“+”连接时,ab≥0,右端取等号,ab≤0,且|a|≥|b|时,左端取等号;用“-”连接时,ab≥0,且|a|≥|b|时,左端取等号,ab≤0,右端取等号. 右端|a|+|b| 是非负的 ≥中间部分 中间部分为|a+b|时,ab≥0,等号成立;中间部分为|a-b|时,ab≤0,等号成立. 例2、已知写出不等式等号成立的所有条件_ 【说明】本题主要考查绝对值三角不等式的推导思路,等价推导等号成立的条件,还考查了分析求解问题、等价转化等能力; 例3、(1)已知ε>0,|x-a|<ε,|y-b|<ε,求证:|(x+y)-(a+b)|<2ε. (2)设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1). 【说明】本题考查了利用绝对值的三角不等式证明不等式;含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式性质定理:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明. 例4、已知a,b∈R,且|a+b+1|≤1,|a+2b+4|≤4;求|a|+|b|的最大值. 【说明】本题考查了利用绝对值的三角不等式求最值; 1、求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强,本题直接求|a|+|b|的最大值比较困难,可采用|a+b|,|a-b|的最值,及ab≥0时,|a|+|b|=|a+b|,ab<0时,|a|+|b|=|a-b|的定理,达到目的,其巧妙之处令人赞叹不已. 2、求y=|x+m|+|x+n|和y=|x+m|-|x+n|的最值,其主要方法有: ①借助绝对值的定义,即零点分段;②利用绝对值几何意义;③利用绝对值不等式性质定理. 3、利用含有绝对值的不等式的性质处理最值问题 (1),即| (2),即 方法归纳 1、定理(三角不等式):如果a,b是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. 2、绝对值三角不等式 如果a,b是实数,则||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|