2024届上海市高考数学新高考新教材新增知识系列：微专题 对三角不等式的理解与应用

微专题 对三角不等式的理解与应用 【学生版】 知识梳理 1、定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 2、推广 （1）如果、是实数，那么（由定理通过代换可以推得）； （2）如果、、是实数,那么，当且仅当时，等号成立； 典题例析 一、定理的多视角证明 1、定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 【提示】 【证明】方法1： 【证明】方法2：（比较法+不等式性质） 【证明】方法3：（分析法）； 【证明】方法4：（利用绝对值的几何意义）； 【证明】方法5：（从向量的模与复数的模视角理解） 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 不等式中，用向量分别替换实数、； 则当不共线时, 由向量加法三角形法则: 向量，构成三角形, 因此，有（、同向时取等号） 定理的几何意义：完善后的定理，从形式来看具有三角形的两边之和大于第三边关系，因此有时把定理称为绝对值三角不等式定理。 二、定理的理解与应用 例1、（1）设a、b为实数，求证： 【提示】 【证明】 （2）设a、b为实数，求证： 【证明 【说明】本题考查了教材要求的由等式代换结合三角不等式证明不等式； 例2、已知f(x)＝x2－2x＋7，且|x－m|＜3，求证：|f(x)－f(m)|＜6|m|＋15. 【提示】； 【证明】 【说明】本题考查了利用绝对值三角不等式证明不等式；两类含绝对值不等式问题的证明技巧； 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转符号化为常见的不等式证明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明．　 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明； 例3、设m等于|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|>m时，求证：<2. 【提示】 【证明】 【说明】本题考查借助三角不等式证明含绝对值的不等式； 1、将文字语言“m等于|a|，|b|,1中最大的一个”转化为符号语言“m≥|a|，m≥|b|，m≥1”是证明本题的关键. 2、运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度. 例4、对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋|x＋2|≥m恒成立的m的取值范围. 【提示】 【说明】方法1： 【说明】本题考查了运用绝对值不等式求最值与范围； 1、本题也可利用绝对值的几何意义求解； 2、对于含有两个绝对值以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值； 例5、不等式|sin x＋tan x|＜a的解集为N；不等式|sin x|＋|tan x|＜a的解集为M，则解集M与N的关系是(　 　) A．N⊆M B．M⊆N C．M＝N D．MN 例6、若不等式|2a－1|≤对一切非零实数x恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．[－1,2] B．[1,2] C． D． 例7、已知p，q，x∈R，且pq≥0，x≠0，则与2 的大小关系是________________． 例8、设a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，求|a|＋|b|的最大值． 方法归纳 从初中的绝对值、三角形到高中的向量，在这些看似无序无关的知识中，让学生直观感受实数绝对值三角不等式的若影若现，产生对新知识学习的渴望；在一个个问题的研究中，使学生的思维层次不断提升，由从特殊值和几何图形的直观想象延伸到精准的逻辑推理证明；从大量的实际问题中，让学生提炼出绝对值三角不等式的模型，并充分体会它的特征，并能充分的利用这些特征解决问题，突显它的价值和意义。 绝对值不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件． 1、知识层面 定理（三角形不等式）：如果是实数，则，注意取等的条件。 2、方法层面 综合法、分析法、放缩法、作差法等。 3、思想层面 分类讨论思想、对称思想、转化化归思想、数形结合思想等。 4、素养层面 数学抽象、数学建模、逻辑推理等。 绝对值三角不等式结构优美，构思巧妙，他的发现、证明、应用能够培养学生的探索、发现、推理能力，有着良好的培养学生能力的机会； 巩固练习 1、已知实数a，b满足ab<0，则下列不等式成立的是（ ） A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b| C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b| 2、“|x