202024届上海市高考数学新高考新教材新增知识系列：微专题 对三角不等式的理解和推导体验

微专题 对三角不等式的理解和推导体验 【学生版】 知识梳理 定理（三角不等式） 如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 三角不等式是本教材的新增内容，与平均值不等式、常用不等式和三角不等式统称为基本不等式；三角不等式不仅是一个常用的基本不等式，名称来源于三角形両边之和大干第三边这一几何事实，在后续学习向量、复数等知识乃至高等数学的学习中具有重要作用；而且，理解其推导与变形非常有必要；同时，其在求简单的最大或最小值和证明其他的一些不等式方面有广泛应用；并且，它在以后学习向量、复数，以及高等数学中都会出现，有着十分重要的意义，增加这部分内容是十分必要的。 典题例析 例1、定理（三角不等式）：对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【提示】； 【证明】（方法1：分析法） （方法2：利用） 变式1：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1： 方法2： 变式2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1： 方法2：将 变式3：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】 【证明】 变式4：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】 【证明】 变式5：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】 【证明】 变式6：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】； 【证明】 变式7：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【说明】 变式8：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】 【说明】 方法归纳 在运用三角不等式证明其他的不等式吋，一般都是先构造等式，再由等式放縮得到三 角不等式；教材中以拓展与证明“对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件”为例；说明 首先， ， 同理， ， 両式相加井同除以2即得要证明的不等式，用放縮法证明不等式，方法灵活多样， 教学中应加强分析，启发引导，井注意控制难度； 巩固练习 1、函数的最小值及取得最小值时的值分别是（ ） A．1， B．3，0 C．3， D．2， 2、关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3、不等式成立的充要条件是 4、实数a、b满足，则a、b之间的关系是 . 5、函数的最小值为________. 6、x为实数，且不等式有解，则实数m的取值范围是 7、 取等号的条件是 8、若不等式的解集为，则实数的取值范围是__________. 9、设a、b为实数，求证：（1）；（2）。 10、判断下列不等式是否成立： 已知实数a、b，且ab<0； 现有① ② ③ ④四个不等式； 微专题 对三角不等式的理解和推导体验 【教师版】 知识梳理 定理（三角不等式） 如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 三角不等式是本教材的新增内容，与平均值不等式、常用不等式和三角不等式统称为基本不等式；三角不等式不仅是一个常用的基本不等式，名称来源于三角形両边之和大干第三边这一几何事实，在后续学习向量、复数等知识乃至高等数学的学习中具有重要作用；而且，理解其推导与变形非常有必要；同时，其在求简单的最大或最小值和证明其他的一些不等式方面有广泛应用；并且，它在以后学习向量、复数，以及高等数学中都会出现，有着十分重要的意义，增加这部分内容是十分必要的。 典题例析 例1、定理（三角不等式）：对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； 【提示】注意：利用等价变形进行证明与探究“等号”成立条件与变式； 【证明】（方法1：分析法）为证明， 只需证明， 即，也就是， 所以，等号当且仅当时成立； （方法2：利用） 由① ② 两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用， 即可证明； 变式1：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件；学习笔记 【证明】方法1：分或或三种可能； 当 时，不等式显然成立； 当 时，，即， 等号成立的条件且； 方法2：将三角不等式中，取成“”， 取成“”，代入定理，移项即可； 等号当且仅当，即时成立。 变式2：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即， 等号当且仅当且时成立。 方法2：将三角不等式中，取成“”， 取成“”，代入定理，移项即可； 等号当且仅当，即时成立。 变式3：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【提示】； 【证明】将三角不等式中，取成“”， 取成“”， 有，则不等式成立； 等号当且仅当，即时成立。 变式4：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条