空间向量与立体几何之存在性问题-高二上学期同步练习

立体几何之存在性问题 题型一、柱体的存在性问题 1．已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 2．如图，在四棱柱中，平面,底面为梯形， ,，，点，分别为，的中点.   (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使与平面所成角的正弦值是，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 1．直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，且AC=AB=AA1=2． (1)求证A1B⊥B1C； (2)M、N分别为棱CC1、BC的中点，点P在线段A1B1上，是否存在点P，使平面PMN与平面ABC所成角的余弦值为，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由． 2．直三棱柱中, 分别是的中点, 且, (1)证明: . (2)棱上是否存在一点,使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为若存在,说明点的位置,若不存在,说明理由. 题型二、锥体的存在性问题 1．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，． (1)证明：； (2)在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在， 求与所成角的余弦值；若不存在，请说明理由． 2．已知四棱锥中，底面为矩形，且，，若平面，，分别是线段，的中点. （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置：若不存在，说明理由； （3）若与平面所成的角为45°，求二面角的余弦值． 3．如图，在四棱锥中，平面，且，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 4．如图，四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面底面，为的中点. (1)求证：； (2)在线段（不包括端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. 1．如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在说明理由． 2．如图，在四棱锥 中，底面，底面 为平行四边形，，且 ，， 是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线 与平面所成角的正弦值； (3)在线段 上（不含端点）是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ?若存在，确定 的位置；若不存在，请说明理由． 3．如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，分别为棱的中点. (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 4．四棱锥中，面，，，是的中点，在线段上，且满足． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 题型三、折叠型立体图形的存在性问题 1．如图1，在中，为的中点，为上一点，且.将沿翻折到的位置，如图2. (1)当时，证明：平面平面； (2)已知二面角的大小为，棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由. 2．如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥． (1)若平面平面，证明：； (2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 3．已知梯形如图甲所示，其中，，，四边形是边长为1的正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图乙所示的几何体． (1)求证：平面； (2)若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 4．如图1，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面ABCE． (1)设F为的中点，在AB上是否存在一点M，使得平面．若存在，请证明；若不存在，请说明理由； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 1．在图1的直角梯形中，，，，，为的中点，沿将梯形折起，使得，得到如图2的四棱锥. (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 2．如图（1）在直角梯形中，，，，，，沿将折起得到四棱锥，如图（2）所示． (1)证明：平面平面； (2)若二面角的大小为，，分别是，的中点． （ⅰ）求与平面所成角的正弦值； （ⅱ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 3．已知梯形如图1所示，其中，，，四边形是边长为1的正方形，沿将四边形折起，使