1.3正方形的性质与判定(第二课时)　课件　2023—2024学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 1.3正方形的性质与判定（第二课时） 一、复习导入 问题：什么是正方形？正方形有哪些性质？ 正方形的定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行 四边形叫做正方形。 正方形的性质： 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，即： (1)边：四条边相等，邻边垂直，对边平行； (2)角：四个角都是直角； (3)对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； (4)对称性：是轴对称图形，有4 条对称轴； (5)面积：边长的平方或对角线长平方的一半. A B C D 二、探究新知 活动：如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？ 提示：剪口线与折痕成45°角即可。 二、探究新知 议一议： 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流. 正方形 正方形 二、探究新知 矩形 一组邻边相等 对角线互相垂直 正方形 探究一： 二、探究新知 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 证明过程: 二、探究新知 已知：ABCD是矩形，AC⊥BD，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是矩形， ∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD 又∵AC⊥BD， ∴△AOB≌△AOD（SAS） ∴AB=AD ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形. 二、探究新知 探究二： 菱形 一个角是直角 对角线相等 正方形 二、探究新知 证明过程: 定理：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， 又∵∠A = 90° ， ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 二、探究新知 证明过程: 定理：对角线相等的菱形是正方形. 已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形. 证明：∵ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD ∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直） 又∵AC = BD ， ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形. ∴∠ABC = 90°. ∴ABCD 是正方形（正方形的定义）. 三、 典例讲解 例1.已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE， 求证：四边形 BECF 是正方形. 45° 45° 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形. 三、 典例讲解 例2.如图，顺次连接菱形ABCD 的各边中点E，F，G，H，若AC=a，BD=b，求四边形EFGH 的面积. 解：∵点E，F 分别是AB，BC 边的中点， ∴ EF 是△ ABC 的中位线. ∴ EF= AC 且EF ∥ AC. 同理，HG= AC 且HG ∥ AC. ∴ EF=HG 且EF ∥ HG. ∴四边形EFGH 是平行四边形. ∵点E，H 分别是AB，AD 边的中点， ∴ EH 是△ ABD 的中位线. ∴ EH= BD 且EH ∥ BD. 三、 典例讲解 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD. ∴ EF ⊥ EH. ∴∠ HEF=90° . ∴四边形EFGH 是矩形. ∴四边形EFGH 的面积=EF·EH= a· b= ab. 补充知识： 中点四边形的概念 ： 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边 如图在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点，则四边形EFGH 就是中点四边形. 四、 课堂检测 1.给出下列条件：①对角线相等且互相垂直；②一组邻边相等且有一个角是直角；③对角线相等且一组邻边相等；④对角线互相平分且有一个角是直角.其中能判定平行四边形是正方形的是 　①②③　⁠（填序号）. 2.在四边形A