1.3正方形的性质与判定(第一课时)　课件　2023—2024学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册 1.3正方形的性质与判定（第一课时） 第一章 特殊平行四边形 一、情景导入 观察下面的物体，它们在生活中无处不在．想一想，它们都有什么相似之处？ 你还能举出其他的例子吗？ 二、探究新知 观察下图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 是正方形，你能总结一下正方形的定义吗？ 二、探究新知 1、正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角 的平行四边形叫做正方形。 平行四边形 一组邻边相等 一个角是直角 正方形 思考：正方形是菱形吗？是矩形吗？ 二、探究新知 特别提醒 1.正方形在平行四边形的基础上还必须具备两个条件: (1) 一组邻边相等. (2) 一个角是直角. 2.正方形不仅是平行四边形，也是矩形和菱形. 二、探究新知 思考：正方形是特殊的平行四边形，它即是菱形也是矩形，你能列举它的特殊性质吗？ 1.正方形的四个角都是直角，四条边相等 2.正方形的对角线相等且互相重直平分 3.矩形是轴对称图形 猜想： 二、探究新知 证明猜想 1 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等. 二、探究新知 证明猜想 2 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. A B C D O 正方形的性质 定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 做一做：用正方形纸片折一折，回答下列问题： 正方形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ 正方形是轴对称图形； 有四条对称轴； 补充： 四边形定义间的关系 二、探究新知 二、探究新知 2.矩形的性质 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，即： (1)边：四条边相等，邻边垂直，对边平行； (2)角：四个角都是直角； (3)对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； (4)对称性：是轴对称图形，有4 条对称轴； (5)面积：边长的平方或对角线长平方的一半. 三、典例讲解 例1：如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由. 解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形. ∴BC = DC,∠BCE = 90°（正方形的四条边都相等， 四个角都是直角）. ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°. ∴∠BCE =∠DCF. 又∵CE = CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF. 三、典例讲解 (2)延长BE交DF于点M(如图)． ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE＝∠CDF. ∵∠DCF＝90°， ∴∠CDF＋∠F＝90°. ∴∠CBE＋∠F＝90°. ∴∠BMF＝90°. ∴BE⊥DF. 三、典例讲解 例2：如图， 四边形ABCD 是正方形， 点E在BC 的延长线上. 如果BE=BD， 且AB=2 cm，求∠ E 的度数和BE 的长. 四、 课堂检测 1.下列四边形：①正方形；②矩形；③菱形.其中对角线相等的是 　①②　⁠（填序号）. 2.在正方形ABCD中，点P，Q分别是BC，CD的中点，连接AP，AQ，PQ，则∠CPQ＝ 　45°　⁠. 第2题图 ①②　 45°　 四、课堂检测 3.如图，正方形ABCD的面积是1，若以相邻两边中点的连线EF为边作正方形EFGH，则正方形EFGH的周长是 　2　⁠. 第3题图 2　 4.如图，若点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BP＝BC，则∠ACP＝ 　°　⁠. 第4题图 22.5°　 四、课堂检测 5.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝BF.求证：∠ACF＝∠DBE. 第5题图 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠EAB＝∠FBC＝∠ABO＝∠BCO＝45°. 在△ABE与△BCF中， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠ABE＝∠BCF， ∴∠ACF＝∠DBE. 五、课堂小结 1、正方形定义：有一组邻边相等