2.5.2 圆与圆的位置关系 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系。 2.圆与圆位置关系的其判定方法。 3.用坐标法探求圆与圆位置关系的过程。 4.核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 一、复习导入 圆与圆的位置关系 A.相离、相切、相交 B.外离、外切、相交、内切、内含 相离 两圆没有公共点 外离、内含 相切 两圆只有一个公共点 外切、内切 相交 两圆有两个公共点 3 相交 外离 外切 内切 内含 问题1 设两圆圆心之间的距离为，两圆半径分别为, ，则两圆的位置关系与， , 之间又什么联系？ 二、新课讲授 1、圆与圆的位置关系 外切 = + 内切 = - 丨 相交 - 丨+ 内切 = - 丨 内含 ＜- 丨 5 例1：已知圆,圆,试判断圆与圆的位置关系. 分析： 法1：可通过两圆心之间的距离与两半径之和或之差进行比较，得到两圆位置关系. ①需求出两圆心的坐标即两圆的半径； ②可将圆的方程化为标准方程. 法2：可通过两圆公共点的个数来判断两圆位置关系. ①联立两圆方程，解方程组； ②由方程组解的情况来判断位置关系. 解法一：圆的方程可化为： 的圆心为(-1,-4)，半径5. 圆的方程可化为： 的圆心为(2,2)，半径. 则= . 与圆的两半径之和为： + =5+ 与圆的两半径之差为： - =5- 5- ＜ ＜ 5+ ，即- ＜ ＜ + ， 所以与圆有两个公共点，两圆相交. 解法二：将两圆方程联立，得 ①-②，得 由=.代入①，并整理得： 因为方程的＞0，所以方程有两个不相等的实数根, . 解得3, -1，分别代入方程③，解得-1, 1. 所以与圆有两个公共点，分别为(-1,1),(3,-1)，两圆相交. 追问1：你能求出公共弦所在直线方程吗？ 解：因为两圆的两个交点(-1,1),(3,-1)在公共弦上， 所以根据两点式可得公共弦所在直线的方程为： 追问2：方程与①-②得到方程一致，是巧合吗？ 两圆相交时，公共弦所在直线方程就是两圆方程之差所得到的方程. 追问3：如果所求=0或＜0，说明什么？ 当=0时，方程只有一个实数解，即两圆只有一个公共点，故两圆内切或外切. 当＜0时，方程没有实数解，即两圆没有公共点，故两圆内含或外离. 要想得到更确切的位置，还需要通过圆心距与两半径之和或之差进行比较来判断. 小结：判断两圆位置关系的方法 1、圆心距与半径的比较→位置关系. 2、联立两圆方程→方程组解的情况→位置关系. 三、巩固新知 例2 已知圆的直径4，动点与点的距离是它与点的距离的倍.试探究点的轨迹，并判断该轨迹与圆的位置关系. 轨迹：符合一定规则的点集. 分析：利用坐标法求得轨迹方程，再进一步判断与圆的位置关系. 轨迹方程：点的坐标所满足的方程. O A B M • • P 解：如图，以线段的中点为原点， 所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系. 由=4，得，. 设点，由= ,得 ， 得 , 即=32. 所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为的一个圆. 轨迹方程 轨迹 圆心距， 两圆的半径分别为=2， =， - ＜＜ + ， 所以有两个公共点，两圆相交. 追问1：如果把本例中的“ 倍”，改为“”，你能分析并解决这个问题吗？ 设点，由= ,得 ， 得 , 当1时,点 的轨迹为的垂直平分线； 当1时,点 的轨迹为. 小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤 第一步 建立适当的平面直角坐标系 寻找动点满足的几何关系 第二步 将几何问题用方程表示 代数化简、变形，得到轨迹方程 第二步 把轨迹方程“翻译”成轨迹 四、课堂小结 1、圆与圆的位置关系 五、作业布置 课本P95：练习 第1、2题 2、坐标法解题步骤 $$