11.2 与三角形有关的角（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

11.2与三角形有关的角 （重难点） 【知识点一、三角形的内角和定理】 1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． 2. 三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 3. 三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． 【知识点二、三角形的外角性质】 1. 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． 2. 三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． 【知识点三、 直角三角形的性质】 1. 有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． 2. 直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 考点1：判断三角形形状 例1．在中，，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【变式训练1-1】在中，，则的形状是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【变式训练1-2】已知则的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定形状 【变式训练1-2】中，，则对的形状判断正确的是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 考点2：利用三角形内角和求度数 例2．在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍少，则两锐角的度数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2-1】．在中，已知，则C的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】如图，在中，的度数是（    ）    A． B． C． D． 考点3：利用三角形外角的性质求度数 例3．如图，是的一个外角，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练3-1】如图，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练3-2】如图，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练3-3】如图，在中，，D为边上的一点，E点在边上，，若，则（   ）    A． B． C． D． 考点4：翻折类 例4．如图，在中，点D、E分别为边、上的点，连接，将沿翻折得到，使．若，，则的大小为 ．    【变式训练4-1】如图，在中，，点在边上，将沿着直线翻折，点B的对应点E恰好落在边上．如果，那么 度． 【变式训练4-2】．如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为 °． 【变式训练4-3】在△ABC中，点E、F分别为边AB、AC上的点，把△ABC沿EF翻折，翻折后的图形如图所示．若，则的度数为 ． 考点5：利用三角板求度数 例5．将一副三角尺按如图所示方式放置，，则 ． 【变式训练5-1】如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，若，则的大小为 ． 【变式训练5-2】将一副三角尺按如图的方式拼摆，则的度数为 ． 【变式训练5-3】如图，直线ab，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝24°，则∠2的度数为 ． 考点6：利用高求度数 例6．如图分别是的高和角平分线，，，求的度数．      【变式训练6-1】如图，是的高，是的角平分线，和交于点，求的度数．    【变式训练6-2】如图，在中，，，是上的高，平分，、交于点F，求和的度数．    【变式训练6-3】如图，为的角平分线，为的高，交于点F，，，求的度数．    考点7：利用角平分线求度数 例7．在在中，，点在边上． (1)如图①，点在线段上，若，证明：； (2)如图②，平分，点在线段上，交延长线于点，设与的角平分线交于点，求与的度数之比 【变式训练7-1】如图，、是的角平分线，与相交于点．    (1