第4章 5 相似三角形判定定理的证明-(习题课件)【优+学案】2023-2024学年九年级上册数学课时通(北师大版)

年级上册·BS 数 学 第四章　图形的相似 *5　相似三角形判定定理的证明 ⁠ ⁠相似三角形判定定理的综合应用 1.如图所示，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，有下列五个条件：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C.其中能满足△ADE∽△ACB的条件有（　C　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第1题图 C 2.如图所示，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，＝，点F为BC边上一点，添加一个条件： 　DF∥AC（答案不唯一）　⁠，可以使得△FDB与△ADE相似.（只需写出一个） 第2题图 DF∥AC（答案不唯一）　 3.如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BCA＝∠ADE，∠CAD＝∠BAE. 求证：（1）△ABC∽△AED. 证明：（1）∵∠BAE＝∠CAD，∠BAC＝∠BAE－∠CAE，∠DAE＝∠CAD－∠CAE，∴∠BAC＝∠DAE.∵∠ACB＝∠ADE，∴△ABC∽△AED. （2）BE·AC＝CD·AB. 证明：（2）∵△ABC∽△AED，∴＝， ∴＝.∵∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE∽△ACD， ∴＝，即BE·AC＝CD·AB. ⁠ 4.如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝1，有下列结论：①∠CAD＝30°；②DB＝；③S▱ABCD＝AB·AC；④OE＝AD；⑤S△APO＝.其中正确结论的个数是（　C　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 第4题图 C 5.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点E，F在边BC上，且∠EAF＝∠C，则BF·CE＝ 　16　⁠. 第5题图 16　 6.如图所示，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，连接DE，AB·AD＝BC·AE. （1）求证：∠BAC＝∠AED. 证明：（1）∵AD∥BC，∴∠B＝∠DAE. ∵AB·AD＝BC·AE，∴＝， ∴△CBA∽△DAE，∴∠BAC＝∠AED. （2）在边AC上取一点F，连接EF，如果∠AFE＝∠D，求证：＝. 证明：（2）由（1）得△DAE∽△CBA，∴∠D＝∠C，＝.∵∠AFE＝∠D， ∴∠AFE＝∠C，∴EF∥BC.∵AD∥BC，∴EF∥AD.∵∠BAC＝∠AED，∴DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形， ∴DE＝AF，∴＝. ⁠7.必考题 如图所示，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF·AB，∠DAF＝∠EAC. 求证：（1）△ADE∽△ACB. 证明：（1）∵AE2＝AF·AB，∴＝. ∵∠EAF＝∠BAE， ∴△AEF∽△ABE，∴∠AEF＝∠B. ∵∠DAF＝∠EAC， ∴∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ACB. （2）＝. 证明：（2）∵△ADE∽△ACB， ∴＝，∠D＝∠C. ∵∠DAF＝∠EAC，∴△ADF∽△ACE， ∴＝，∴＝，∴＝. ⁠8.必考题 如图所示，在▱ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD，AC于点F，G. （1）求证：＝. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴△AFG∽△CMG，△EAF∽△EBM， ∴＝，＝. ∵CM＝BM，∴＝，∴＝. （2）当BC2＝2BA·BE时，求证：∠EMB＝∠ACD. 证明：（2）∵BC2＝2BA·BE，∴＝＝.∵∠B＝∠B，∴△BCA∽△BEM， ∴∠EMB＝∠BAC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC， ∴∠EMB＝∠ACD. ⁠ 9.如图①所示，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，它们的斜边长为4.若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE＝a，CD＝b. （1）请在图中找出一对相似而不全等的三角形，并进行证明. 解：（1）△ADE∽△BAE.证明：∵△ABC和△AFG都是等腰直角三角形， ∴∠DAE＝∠B＝45°.又∵∠DEA＝∠AEB，∴△ADE∽△BAE.∵点D不与点B重合，∴△ADE与△BAE不全等.（答案不唯一） （2）求ab的值. 解：（2）∵∠FAG＝∠B＝45°，∴∠BAE＝∠BAD＋45°，∠CDA＝∠BAD＋45°， ∴∠BAE＝∠CDA.又∵∠B＝∠C＝45°，∴△ABE∽△DCA，∴＝.依题意，可知CA＝BA＝2，∴＝，∴ab＝8. （3）在旋转过程中，当△AFG旋转到如图②所示的位置时，AG与BC交于点E