第02讲 常用逻辑用语-2023-2024学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第02讲 常用逻辑用语 【人教A版2019】 ·模块一 命题与量词 ·模块二 充分条件与必要条件 ·模块三 课后作业 模块一 命题与量词 1．命题及相关概念 2．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 3.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义. 常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义. 4．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)命题的否定 一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”. 若p是真命题，则¬p必是假命题；若p是假命题，则¬p必是真命题. (2)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 【考点1 含量词的命题真假判断】 【例1.1】（2023·全国·高一假期作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【例1.2】（2023·全国·高一假期作业）下列四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A．锐角三角形的内角都是锐角 B．至少有一个实数x，使 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使 【变式1.1】（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ） A．∃x>1，x2－2x－3＝0 B．若2x为偶数，则x∈N C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 【变式1.2】（2023·全国·高一假期作业）已知命题；命题，则下列说法正确的是（    ） A．为存在量词命题且为假命题，为全称量词命题且为假命题 B．为全称量词命题且为假命题，为存在量词命题且为假命题 C．为存在量词命题且为真命题，为全称量词命题且为假命题 D．为全称量词命题且为真命题，为存在量词命题且为真命题 【考点2 含量词的命题否定】 【例2.1】（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）命题：的否定是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023春·北京密云·高二统考期末）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2.1】（2023春·广东梅州·高二统考期末）命题“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是（    ） A．存在一个四边形，它的两条对角线不互相垂直 B．任意一个四边形，它的两条对角线互相垂直 C．任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直 D．有些四边形，它们的两条对角线不互相垂直 【变式2.2】（2023春·湖北武汉·高二校考期末）命题：“，，使得”的否定是（    ） A．，，使得 B．，，使得 C．，，使得 D．以上结论都不正确 【考点3 命题与量词的逆向求参问题】 【例3.1】（2022秋·山东淄博·高三校联考阶段练习）若命题p：“，”是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2022秋·北京丰台·高一统考期末）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2022秋·江苏盐城·高一校考阶段练习）命题：，，若是真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023·高一课时练习）已知命题，；命题，．若，都是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 模块二 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题