22.1.4第1课时二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十二章 二次函数》 22.1.4 第1课时 二次函数y＝ax2 +bx+c的图象与性质 知识点一 将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a（x﹣h）2+k 1、运用配方法，可以将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与顶点式y＝a(x﹣h)2+k相互转化. （1）通过去括号、合并同类项可将顶点式化为一般式. （2）用配方法可把二次函数的一般式化为顶点式. 即：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）可以转化为y＝a(x＋)2＋； 2、从函数解析式y＝a(x﹣h)2+k我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，我们称y＝a(x﹣h)2+k 为顶点式， 将顶点式y＝a(x﹣h)2+k去括号，合并同类项就化成一般式y＝ax2＋bx＋c. 知识点二 将二次函数y＝ax2+bx+c图象的两种画法 ◆1、描点法 （1）运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式. （2）确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. （3）在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称描点. （4）用平滑的曲线将描出点顺次连接起来. ◆2、平移法 （1）运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式,确定其顶点坐标为(h，k). （2）作出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象. （3）将函数数y＝ax2(a≠0)的图象平移，使其顶点(0,0)平移到(h，k)，平移后的图象就是y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象. 知识点三 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质 y＝ax2+bx+c a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x= 直线x= 顶点坐标 （，），抛物线最低点 （，），抛物线最高点 最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 = 增减性 当x＜时，y随x增大而减小； 当x＞ 时，y随x增大而增大. 当x＞时，y随x增大而增大； 当x＜ 时，y随x增大而减小. 知识点四 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 当c＞0时，图象过原点； 当c=0时，与y轴交于正半轴； 当c＜0时，与y轴交于负半轴； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 题型一 用配方法把一般式化为顶点式 【例题1】（2023•湟中区校级开学）已知二次函数的表达式为：y＝﹣2x2+4x+5． （1）将该二次函数配方成顶点式； （2）写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解题技巧提炼 用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）转化成顶点式y＝a(x＋)2＋（a≠0）简记为“一提、二配、三计算”； 【变式1-1】（2022秋•罗山县期末）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为顶点式的形式为（　　） A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25 C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25 【变式1-2】已知函数y＝2+2xx2． （1）把它配方成y＝a（x﹣h）2的形式； （2）x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？ 【变式1-3】二次函数y＝x2﹣2x﹣8． （1）将y＝x2﹣2x﹣8用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标； （2）求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 【变式1-4】（2022秋•门头沟区校级期中）已知抛物线y＝x2﹣4x+3． （1）用配方法将y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）写出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【变式1-5】已知二次函数y＝x2﹣4x+5． （1）将y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）的形式，指出该二次函数图象的顶点坐标； （2）当x取何值时，y随x的增大而增大？ 题型二 用公式法求顶点坐标及对称轴 【例题2】用公式法求二次函数y＝﹣2x2+4x+6的对称轴和顶点坐标． 解题技巧提炼 直接把a，b，c的值代入公式，即对称轴是-，顶点坐标是（，），注意不