21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（讲+练，六大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系. 难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 知识点一 探索一元二次方程的根与系数的关系 （1） 方程的根与系数的关系 设方程①的两实数根分别为和，则该方程可化为.整理，得② .比较①②的系数，得，.所以方程的根与系数的关系为，. 注意：当一元二次方程二次项系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 （2） 方程（a≠0）的根与系数的关系的推导 若一元二次方程（a≠0）有实数根，设这两个实数根分别为， 由求根公式得（）， 令，. 由此可得+=+=， =·=. 所以，. 这一结论表明:一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.此结论称为一元二次方程根与系数的关系（也叫“韦达定理”）. 知识点二 以，为实数根的一元二次方程（二次项系数为1） 知识点三 与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形 前提条件：（1）方程是一元二次方程（2）方程有实数根，即△≥0. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 即学即练1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积： （1）      （2）       （3） 即学即练2 （2023·山东·统考中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 题型一 已知方程的一个根，求另一个根或字母系数的值 例1 （2023秋·广西防城港·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根． 举一反三1 （2023·山东潍坊·昌邑市实验中学校考二模）已知关于x的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求m的值及另一个根； (2)若该一元二次方程方程有两个不同的实数根，求m的取值范围． 举一反三2 已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0． (1)求证：此方程总有两个不相等的实数根； (2)若此方程有一个根是0，求出m的值和另一个根． 题型二 求由方程两根构成的代数式的值 例2 已知一元二次方程的两个根分别是、，则代数式的值为 ． 举一反三1 （2023春·江苏南京·九年级统考期中）设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 举一反三2 （2023·江西宜春·统考二模）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 题型三 求方程中字母系数的值 例3 （2023·四川成都·模拟预测）关于的一元二次方程的两个实数根分别为，若，则 ． 举一反三1 （2023秋·湖北黄石·九年级统考期末）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.设方程的两个实数根分别为，，且，则的值是 ． 举一反三2 （2023·四川巴中·校考二模）已知关于的一元二次方程．两实数根分别为，且满足，则实数的值为 ． 题型四 已知方程的两个根，求新的一元二次方程 例4 已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根为，求方程的另一根和的值． (3)当时，若另一个一元二次方程的两个根分别是这个方程两个根的3倍，求另一个方程． 举一反三 已知,是方程的两个根，求以和为根的一个一元二次方程. 题型五 一元二次方程参数最值问题 例5 （2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知关于x的方程有两个实数根a、b． (1)求k的取值范围； (2)若k是满足条件的最小整数，求的值． 举一反三1 （2022秋·内蒙古呼和浩特·九年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)当k取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式的值． 举一反三2 （2022秋·河南鹤壁·九年级鹤壁市外国语中学校考阶段练习）已知：关于的方程=0没有实数根． 求的取值范围； 若关于的一元二次方程有实数根，求证：该方程两根的符号相同； 设中方程的两根分别为、，若，且为整数，求的最小整数值． 题型六 新定义问题 例6 （2023秋·广东揭阳·九年级校联考阶段练习）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值． 举一反三1 （2022秋·山西·九年级山西实验中学校考期中）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另