5.3.2.1函数的极值 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2.1 函数的极值 知识回顾 1.导数的几何意义是什么? 函数在的导数切线的斜率。 2.函数的单调性与其导函数正负的关系： 在某个区间，如果那么函数在区间内单调递增； 在某个区间，如果那么函数在区间内单调递减. 如果函数在某些点处的导数为零，那么在这些点处函数有什么性质？ 问题探究 问题1：当时，跳水运动员距水面的高度最大. 那么函数h(t)在处的导数是多少？ 追问：附近的函数图象有什么特点呢？ 对应导数的符号有什么变化规律？ 问题2：如图，函数在点处的函数值与该点附近的函数值有什么关系？的导数的正负性有什么规律？ x y O a b c d e 问题探究 x y O a b c d e 函数在点处的函数值比它在点附近的其他点处的函数值小,且在点附近的左侧,右侧. 我们把函数的极小值点,叫做函数的极小值。 讲授新知 x y O a b c d e 函数在点处的函数值比它在点附近的其他点处的函数值大, 且在点附近的左侧右侧. 我们把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值. 讲授新知 极小值点与极大值点统称为极值点. 极小值与极大值统称为极值. x y O a b c d e 追问：函数f(x)有哪些极值点？ 讲授新知 思考：极大值一定大于极小值吗？ 例1 (多选)若函数f(x)的导函数的部分图象如图所示，则(　　) A．x1是f(x)的一个极大值点 B．x2是f(x)的一个极小值点 C．x3是f(x)的一个极大值点 D．x4是f(x)的一个极小值点 例题讲解 答案：AB 例2　求下列函数的极值： f(x)＝x3－3x2－9x＋5 ； 例题讲解 解： (1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22. x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 10 单调递减 －22 单调递增 (2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)， 且f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，函数f(x)没有极小值． x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 极大值 单调递减 求可导函数极值的步骤 1.确定函数的定义域; 2.求导数; 3.求方程的根； 4.方程将函数整个定义域分成若干个小开区间，把 f′(x),f(x)的变化情况并列成表格； 5.判断得结论：如果在附近的左侧右侧,那么极大值；如果在附近的左侧右侧,那么极小值；如果左右不改变符号，则无极值。 　 1.如图是函数 的导函数的图象，下列说法正确的是(　　) A．x＝2是函数的极大值点 B．x＝－2是函数的零点 C．函数在区间(－2,－1)上单调递减 D．函数在区间[－2，2]上存在极小值 答案：A 巩固训练 2.求 极值. 解： 巩固训练 由题意得：定义域 令解得 因此，x＝－2是函数的极大值点，极大值为f(－2)＝ ；x＝2是函数的极小值点，极小值为f(2)＝4. -2) -2 2) 2 + 0 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 极大值 极小值 ) + 0 0 0 + + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 单调递增 课堂小结 一、函数极值的定义 1. 极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝______，而且在点x＝a附近的左侧________，右侧_______，就把______叫做函数y＝f(x)的极小值点，_______叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝_______，而且在点x＝b附近的左侧_______，右侧_______，就把_____叫做函数y＝f(x)的极大值点， _______ 叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为_______． 二、求极值的步骤 1.定义域；2.求导数；3.解方程；4.列表格；5.写结论 三、极值说明 1.函数的极大值不一定大于极小值，且可能不存在极大值（极小值）。 2. 一般地，函数y＝f(x) 在一点处的导数值为0是函数y＝f(x) 在这点取极值