2.5 一元二次方程的根与系数的关系（同步课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

2.5 一元二次方程的根与系数关系 第二章 一元二次方程 北师大版 九年级上册 学习目标 1）掌握一元二次方程根与系数的关系。 2）利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。 重点 掌握一元二次方程根与系数的关系。 难点 利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。 课前导入 1. 一元二次方程的一般形式? 2. 一元二次方程有实数根的条件是什么？ 3. 如何利用一元二次方程根的判别式判断根的情况？ 4. 一元二次方程的求根公式是什么? ax2+bx+c=0（a≠0） △=b2-4ac0 当△ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当△ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当△ < 0 时，方程没有实数根； 课前导入 方程 两根 两根和 x1+x2 两根积 x1x2 x1 x2 2−2=0 22-3=0 【提问】解下列方程并完成填空： (1) =0 (2)2−2=0 (3)22-3=0 3 4 12 7 +2 2 -2 -1 每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？ 对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？与同伴交流。 探索与思考 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢? 根据 x1+x2= + = x1x2 = × = = 探索与思考 当时，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数， 两根的积等于常数项与二次项系数的比， 即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根与系数的关系为： x1+x2 x1x2 = 人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”。 【易错点】使用韦达定理的前提条件：1) 先把方程化为一般式。 2) Δ≥0。 课堂小结 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1,x2 1）平方和 2）倒数和 + = 3）差的绝对值 | x1 - x2 |= = 课堂小结 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2 +7x +6 = 0 ; （2）2x2 - 3x -2 = 0 . 解： （1）这里 a = 1，b = 7，c = 6. △=b2-4ac=72+4×1×6=49-24=25> 0 ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-7，x1x2 = 6. 课堂练习 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2 +7x +6 = 0 ; （2）2x2 - 3x -2 = 0 . （2）这里a=2，b=-3，c =-2. △=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=9+16=25>0 ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2= ， x1x2 = -1. 课堂练习 1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：. (1)2x2-3x＋1＝0 (2)x2-3x＋2＝10 (3)7x2-5＝x+8 解：(1)x1+x2 x1x2 = = (2)x1+x2 x1x2 = = (3) x1+x2 x1x2 = = 课堂练习 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，， ∴3＋1＝−p，3×1＝q，∴p＝−4，q＝3， 所以这个一元二次方程是，故选：A． 2.如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是(   ) A． B． C． D． 课堂练习 3．若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：2． 课堂练习 【详解】解：根据题意可得：， ∴， ∵该方程一个根为，令， ∴，解得：． 故答案为：5． 4．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________． 课堂练习 【详解】解：∵、是一元二次方程x2-x-2＝0的两个根， ∴ ∵， ∴， 选D． 5．已知、是一元二次方程x2-x-2＝0的两个根，则的值是（ ） A．1 B． C．-1 D． 课堂练习 【详解】解：， 整理得：， ∴， ∴方程有两个不等的实数根， 设方程两个根为、， ∵， ∴两个异号，而且负根的绝对值大．故选：C． 6．关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（    ） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根 课堂练