专练05 解三角形“热考”十点-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专练05 解三角形“热考”十点 热点题型速览 热点一 三角形中边角计算 1．（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2.（2020·全国·统考高考真题）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（    ） A． B． C． D． 3．（2021·全国·高考真题）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 4.（2020·山东·统考高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（    ） A．3 B． C．3或 D．-3或 5.（2021·浙江·统考高考真题）在中，，M是的中点，，则 ， . 【规律方法】 1.已知任意两角和一边，解三角形的步骤： ①求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； ②求边：根据正弦定理，求另外的两边． 2. 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． 3. 已知三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． (2)利用余弦定理求三角的余弦，进而求得三个角． 热点二 判断三角形的形状 6.在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状． 7.（2020·全国·统考高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 【规律方法】 利用正弦定理判断三角形形状的方法： (1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状． (2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如)，进而确定三角形的形状． 2.判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件． 热点三 三角形解的个数问题 8． (2016·全国卷Ⅰ文，4)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝(　　) A．　　 B． C．2 D．3 9．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. 问题：在中，角所对的边分别为，且__________. (1)求角的大小； (2)已知，且角有两解，求的范围. 【方法技巧】 三角形解的个数的判断 在△ABC中，已知a，b和A，利用正弦定理解三角形时，会出现解不确定的情况，一般可根据三角形中“大边对大角和三角形内角和定理”来取舍．具体解的情况如下表： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 上表中若A为锐角，则当a<bsin A时无解；若A为钝角或直角，则当a≤b时无解． 热点四 解三角形与平面向量的交汇 10．（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 11.（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 12．【多选题】（2023·浙江·二模）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【点评】 1.交汇考向主要有：（1）向量坐标运算条件下解三角形问题；（2）三角形中向量运算问题；（3）共线向量条件下解三角形问题；（4）向量的模与解三角形问题. 2.解答的总体思路可归结为三个环节：（1）根据向量运算的定义、法则、运算律等，加以计算；（2）应用三角公式，进行变形进而完成化简；（3）应用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等，实施边角转化.就整体而言，正确向量运算、恒等变形是基础，恰当的边角转化是关键，考查的核心是解三角形、三角问题，向量运算是工具.应该注意的是，向量运算条件的给出，也可能是向量平行、垂直，需根据相关条件加以转化. 热点五 解三角形与解析几何交汇问题 13．（2021·全国·统考高考真题）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．（2023·全国·