7.1.2 全概率公式 教学设计-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.2全概率公式教学设计 课题 全概率公式 单元 第七单元 学科 数学 年级 高二 学习 目标 掌握理解全概率公式，能够利用全概率公式计算复杂的概率问题. 重点 使用全概率公式解决实际概率问题. 难点 全概率公式和贝叶斯公式的理解和应用. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 新知导入： 情景：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？ 分析：用 Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2.事件R2可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并，即R2=R1R2∪B1R2.利用概率的加法公式和乘法公式，得 按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 学生思考问题，引出本节新课内容. 设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课. 讲授新课 新知讲解：全概率公式 一般地，设A1,A2,...,An是一组两两互斥的事件，有A1∪A2∪...∪An=Ω，且 P(Ai)>0，i=1,2,...,n，则对任意的事件B⊆Ω，有，称上面的公式为全概率公式. 贝叶斯公式： 一般地，设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，有A1∪A2∪...∪An=Ω， 且P(Ai)>0，i=1,2,...,n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0，有 例题讲解： 例1 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 分析：第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”， B1=“第1天去B餐厅用餐”，A2=“第2天去A餐厅用餐”， 则Ω=A1∪B1，且A1∪B1互斥，根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5, P(A2| A1)=0.6, P(A2| B1)=0.8, 由全概率公式，得 P(A2)= P(A1) P(A2| A1)+ P(B1) P(A2| B1)=0.5x0.6+0.5 x0.8=0.7.因此，王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7 例2 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率. 解：设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”（i=1，2，3），则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，根据题意得 P（A1）=0.25， P（A2）=0.3， P（A3）=0.45， P（B|A1）=0.06, P（B|A2）= P（B|A3）=0.05. （1）由全概率公式，得 P（B）=P(A1) P (B|A1）+ P(A2) P (B|A2）+ P（A3）P (B|A3）=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45 ×0.05=0.0525 (2)“如果取到的零件是次品，计算它是第i（ i =1，2，3）台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率. 同理可得 合作探究： 思考：例5中P(Ai), P(Ai|B)得实际意义是什么？ P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，称为后验概率.如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，则 分别是第1，2，3台车床操作员应该承担的份额 例3 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的. （1）分别求接收的信号为0和1的概率； （2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率. 解：设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”，则=“发送的信号为1”，=“接收到的信号为1” 课堂练