7.4.2 超几何分布 教学设计-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.2超几何分布教学设计 课题 超几何分布 单元 第七单元 学科 数学 年级 高二 教材分析 本节内容主要是超几何，由生活中的实际情景导入，学习判断超几何分布及求超几何分布的分布列，并使用其解决一些实际问题. 教学目标与核心素养 1、 数学抽象：利用生活中的实际问题，为了求解产品的次品率，引入超几何分布； 2、 逻辑推理：通过导入及课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力； 3、 数学建模：掌握超几何分布的判断及分布列的一般求解过程，利用其解决实际问题； 4、 数学运算：能够正确列出超几何分布的分布列，并计算期望； 5、数学分析：通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。 重点 掌握超几何的判断及求分布列与期望. 难点 利用超几何分布，解决一些实际问题. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 导入新课 新知导入： 情景一： 在10件产品中有4件次品，现从这10件产品中任取3件，求取到的次品数X的分布列. 分析：从10件产品中任取3件结果数为 那么从10件产品中任取3件，其中恰好有k件次品的概率为 则次品数X的分布列为 X 0 1 2 3 P 情景二： 盒子中装有8个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同, 现从袋中任意摸出5个球，用X表示摸出白球的个数. （1）求P(X=3); （2）试写出X的分布列. 分析 ：袋中共有12个球，从12个球中任取5个球的结果数为 ，其中恰好有k个白球的结果数为，因此从12个球中任取5个球， 其中恰好有k个白球的概率为P(X=k)= 则 （1）P(X=3)= （2） X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 学生思考问题，引出本节新课内容。 设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。 讲授新课 新知讲解： 问题：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列. 采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08). 如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？ 采用不放回抽样，每次抽取不是同一个试验，且各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布. 由题意可知，X可能的取值为0,1,2,3,4.从100件产品中任取4件， 有 种不同的取法，且每种取法发生的可能性都是相等的， 其中4件产品中恰有k件次品的结果为 由古典概型的知识，得X的分布列为 计算结果如下表. X P 0 0.71257 1 0.25621 2 0.02989 3 0.00131 4 0.00002 超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中M件次品。从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中次品数，则X的分布列为 其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤M, m=max{0,n-N+M},r={n,M}。 如果随机变量X的分布列具有上式形式，那么称随机变量X服从超几何分布 例题讲解： 例1：从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率。 解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且N=50，M=1，n=5。因此甲被选中的概率为 例2: 一批零件共有30个，其中有3个不合格。随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率。 解：设抽取的10个零件中不合格品数位X，则X服从超几何分布，且N=30,M=3,n=10，X的分布列为P(X=k)= ,k=0,1,2,3 则至少有1件不合格的概率为 思考：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 分析：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数。令p=M/N，则p是N件产品的次品率，而X/n是抽取的n件产品的次品率，猜想E(X/n)=p，即E(X)=np 实际上，由随机变量的均值的定义，令m=max(0,n-N+M)，r=min(n,M)，有 因为 所以 总结归纳 1.超几何分布模型是一种不放回抽样； 2.超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：， 求出X取不同k值时的概率． 例3 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本。用X表示样本中黄球的个数。 （1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列 （2）分别就有放回摸球和