圆锥曲线之抛物线学案-2024届北京高考数学一轮复习

2024届北京高考数学一轮复习学案之《圆锥曲线-抛物线》 知识点总结 一、抛物线的定义 1. 平面内与一个定点F和一条定直线(F∉)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线. 2. 当F∈时，动点的轨迹为过定点F且垂直于定直线的一条直线. 二、抛物线的标准方程与简单几何性质 1. 抛物线的标准方程与简单几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形       性 质 焦点坐标 准线方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 x轴 y轴 顶点坐标 (0，0) 离心率 e=1 (1)焦点位于x轴(y轴)时，一次项中变量是x(y)；开口向右、向上(向左、向下)时，一次项系数为正(负). (2)抛物线标准方程中的参数p是抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距)，所以p的值一定大于0. 2. 通径：通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A，B两点，线段AB称为抛物线的通径，通径是所有焦点弦中长度最短的弦，其长度为2p. p越大，通径越长，抛物线的“张口”越大；反之，p越小，通径越短，抛物线的“张口”越小. 三、直线与抛物线的位置关系 1. 直线与抛物线有三种位置关系：相离，相切，相交. 以抛物线y2=2px(p>0)为例： (1)直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，代入y2=2px得k2x2+2(mk-p)x+m2=0. ①当k=0时，直线平行于抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴重合，直线与抛物线只有一个公共点. ②当k≠0时，若判别式Δ>0，则直线与抛物线相交，有两个公共点；若判别式Δ=0，则直线与抛物线相切，有一个公共点；若判别式Δ<0，则直线与抛物线相离，没有公共点. (2)直线的斜率不存在时，设直线方程为x=m， 显然，当m<0时，直线与抛物线相离，无公共点； 当m=0时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当m>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点. 四、抛物线的焦点弦有关的结论 1. 如图所示，AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦，倾斜角为α，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l，AA1⊥l，BB1⊥l，MM1⊥l. (1)以AB为直径的圆必与准线l相切；以AF、BF为直径的圆都与y轴相切. (2)∠A1FB1=90°. (3)M1F⊥AB. (4)M1A与M1B是抛物线的两条互相垂直的切线. (5)|AB|=2=x1+x2+p=. (6)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2=，y1y2=-p2. (7)S△AOB=. (8) +=. (9)|AF|=，|BF|==. (10)kOA·kOB==-4，进一步地，若直线过抛物线对称轴上一定点(a，0)，与抛物线交于P，Q两点，则kOP·kOQ=-. 五、抛物线标准方程的求解 1. 求抛物线标准方程的两种常用方法 (1)定义法：先判断所求点的轨迹是否符合抛物线的定义，若符合，再根据定义求出方程. (2)待定系数法：根据焦点位置先设出抛物线的方程，再根据题中条件确定参数的值. 六、抛物线定义的应用 1. 利用定义解决与抛物线有关的轨迹问题 　　先将几何条件转化，其关键是根据几何性质，将几何条件转化为抛物线的定义：动点到定点的距离等于其到定直线的距离，且定点不在定直线上，再利用抛物线的定义写出标准方程. 2. 利用定义解决抛物线的焦半径问题 (1)抛物线的定义主要用来进行抛物线上的点与焦点的距离及与准线的距离的转化，通过转化可以求最值、参数、距离. (2)常用的焦半径公式如下： 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 焦半径 x0+ -x0 y0+ -y0 七、抛物线的焦点弦问题 1. 解决抛物线焦点弦问题的关键是熟记有关焦点弦的结论，并灵活运用. 有关焦点弦的诸多结论实质是利用抛物线的定义并结合相关知识推得的. 2. 知识点4中有关焦点弦的结论都是针对方程为y2=2px(p>0)的抛物线而言的，但在实际应用中，有些抛物线的方程可能不是这种形式，这时相关结论会随之变化，不能盲目套用. 八、直线与抛物线的位置关系 1. 研究直线与抛物线的位置关系的方法与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法 类似，一般是联立直线与抛物线的方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“