圆锥曲线之双曲线学案-2024届北京高考数学一轮复习

2024届北京高考数学一轮复习学案之《圆锥曲线-双曲线》 知识点总结 一、双曲线的定义 1. 双曲线的定义：平面内与两个定点F1 ，F2 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2. 注意：集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a}，|F1F2|=2c，其中a，c为常数且a>0，c>0， 当2a<|F1F2|时，点M的轨迹是双曲线； 当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2；当2a>|F1F2|时，点M的轨迹不存在. 3. 双曲线的第二定义：平面内到定点F的距离与到定直线(定点F不在定直线上) 的距离之比为常数e(e>1)的点的集合，其中定点F为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线. 4. 与两定点A1(-a，0)，A2(a，0)(a>0)连线的斜率之积为或e2-1(e>1)的点的轨迹为双曲线(不含A1，A2两点). 二、双曲线的标准方程与简单几何性质 1. 双曲线的标准方程与简单几何性质 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 性 质 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|=2c(c2=a2+b2) 范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点 顶点 A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) 轴 实轴(线段A1A2)的长：2a；虚轴(线段B1B2)的长：2b； 实半轴长：a； 虚半轴长：b 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e== (e>1) 3. 利用双曲线的性质确定双曲线的标准方程 (1)与双曲线-=1(a>0，b>0)的离心率相等的双曲线方程为-=λ(λ>0)或-=λ(λ>0). 【注】已知离心率不能确定焦点位置. (2)与渐近线有关的双曲线标准方程的设法： ①与双曲线-=1 (a>0，b>0)具有相同渐近线的双曲线方程可设为-=λ(a>0，b>0，λ≠0). ②渐近线为y=kx(k≠0)的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(k≠0，λ≠0). ③渐近线为ax±by=0(a>0，b>0)的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(a>0，b>0，λ≠0). (3)与双曲线-=1 (a>0，b>0)共焦点的双曲线方程可设为-=1 (λ≠0，-b2<λ<a2). 五、双曲线焦点三角形的相关问题 1. 双曲线上一点P(不在坐标轴上)与其两个焦点F1，F2构成的三角形PF1F2称为焦点三角形. 令|PF1|=r1，|PF2|=r2，∠F1PF2=θ，|F1F2|=2c，则 ①定义：|r1-r2|=2a. ②余弦定理的应用：4c2=+-2r1r2cos θ. ③面积公式： =r1r2sin θ==c|yP|. ④焦点△PF1F2的内切圆圆心的横坐标恒为定值a或-a. 　　推导：设焦点三角形△F1PF2内切圆的圆心为，P在右支上，设的横坐标为xI，△F1PF2的内切圆与三边的切点分别为M，N，R，如图所示，则|F1R|-|F2R|=|F1M|-|F2N|=|F1M|+|PM|-(|F2N|+|PN|)=|PF1|-|PF2|=2a，即c+xI-(c-xI)=2a，解得xI=a. 同理可得点P在左支上时，xI=-a.   2. 由三角形的边角关系(正、余弦定理)和双曲线的定义等知识可以解决焦点三角形的面积、周长及有关角、变量的范围等问题. 六、双曲线离心率的求解 1. 求双曲线的离心率 (1)易求a，c时，直接利用e=求解，有时要结合c2=a2+b2求解. (2)构建关于a，c的齐次方程，利用e=将齐次方程转化为有关e的方程，解方程即可，要注意e>1. 2. 求双曲线离心率的取值范围 　　利用题设中的条件，结合c2=a2+b2，构造关于a，c的齐次不等式，结合e>1确定离心率的范围. 解题时注意利用图形中的位置关系(如三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点的距离的范围等). 七、直线与双曲线的中点弦问题 1. 将直线方程与双曲线方程联立，消元后，用判别式、根与系数的关系和中点坐标公式求解. 2. 用“点差法”和中点坐标公式求解，注意检验. 八、双曲线的综合应用  1. 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围，与向量、三角函数、不等式、直线等知识交汇考查综合运用数学知识的能力. (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将