圆锥曲线之椭圆学案-2024届北京高考数学一轮复习

2024届北京高考数学一轮复习学案之《圆锥曲线-椭圆》 1、 知识点总结 一、椭圆的定义 1. 椭圆的定义：平面内与两个定点F1 ，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 2. 定义的三个要点 (1)在平面内，F1，F2是两个定点；(2)|MF1|+|MF2|=2a为定长；(3)定长2a>|F1F2|. 注意：集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数， 当2a>|F1F2|时，点M的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2； 当2a<|F1F2|时，点M的轨迹不存在. 3. 椭圆的第二定义：平面内到定点F的距离与到定直线(定点F不在定直线上)的距离之比为常数e(0<e<1)的点的集合，其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线. 4. 与两定点A1(-a，0)，A2(a，0)(a>0)连线的斜率之积为- (a>b>0) 二、椭圆的标准方程与简单几何性质 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 性 质 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|=2c(c=) 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点 顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0) 轴长 长轴(线段A1A2)长为2a，短轴(线段B1B2)长为2b 离心率 e== (0<e<1) 第 1 页 （1）焦半径：椭圆上的点与焦点之间的线段叫做椭圆的焦半径. 已知P(x0，y0)为椭圆上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，记r1=|PF1|，r2=|PF2|，则 ①当焦点在x轴上时，r1=a+ex0，r2=a-ex0； ②当焦点在y轴上时，r1=a+ey0，r2=a-ey0. 三、点与椭圆的位置关系 1. 已知点P(x0，y0)，椭圆+=1(a>b>0)的焦点为F1，F2，则 ①|PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上⇔+=1； ②|PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内部⇔+<1； ③|PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外部⇔+>1. 四、直线与椭圆的位置关系 1. 联立直线与椭圆的方程，根据方程组解的情况可得直线与椭圆的公共点个数(位置关系). 直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 由消去y(或x)得到一个一元二次方程，则 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ=0 相离 无解 Δ<0 2. 弦长公式 设直线斜率为k，直线与椭圆的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|=·|x1-x2|=· 或|AB|=|y1-y2|= (k≠0). 3. 椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做椭圆的通径，其长度为. 4. 焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交形成的弦. 焦点弦中通径最短. 五、椭圆标准方程的求解 1. 定义法求椭圆的标准方程 　　根据椭圆的定义确定a，b的值，结合焦点位置写出椭圆的标准方程. 2. 待定系数法求椭圆的标准方程 如果明确椭圆的焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0)； 如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0)；　 如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上还是在y轴上，那么设所求的椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). 3. 利用椭圆的性质确定椭圆的标准方程 (1)与椭圆+=1 (a>b>0)有相同离心率的椭圆的方程为+=1=k1(k1>0，a>b>0)或 +=k2(k2>0，a>b>0). (2)与椭圆+=1 (a>b>0)有相同焦点的椭圆的方程为+=1(k<b2<a2). 六、椭圆焦点三角形的相关问题 1. 焦点三角形及其解法 (1)椭圆上异于长轴端点的一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形. 解关于椭圆的焦点三角形问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识. (2)焦点三角形的常用公式： ①焦点三角形的周长C=2a+2c. ②在△PF1F2中，由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2. ③设P(xP，yP)，则焦点三角形的面积S=c|yP|=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=b2tan.