第一章特殊平行四边形动点问题训练（二）2023-2024学年北师大版数学九年级上册

北师大版数学九年级上册 第一章特殊平行四边形动点问题训练二 1. 如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连． 求证：矩形为正方形； 求证：． 2. 如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连． 若点为的中点，求证：点为的中点； 若点为的中点，，，求的长． 3. 在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒，其中． 若，分别是，中点，求证：四边形是平行四边形、相遇时除外； 在条件下，若以、、、为顶点组成的四边形为矩形，求的值； 若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 4. 已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． 如图，连接、求证：四边形为菱形． 如图，求的长． 如图，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中，点的速度为每秒，设运动时间为秒．若点的速度为每秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 5. 如图，菱形中，、分别是边，上的两个动点不与菱形的顶点重合，且满足，． 求证：是等边三角形． 若菱形的边长为，当的面积为时，求的长． 6. 如图，已知长方形，，，为边的中点，为长方形边上的动点，点从出发，以每秒个单位的速度沿着运动，设运动的时间为秒． 当是以为腰的等腰三角形时，求的值； 当在线段上运动时，是否存在点使得的周长最小？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 7. 在▱中，对角线、交于点，是边延长线上的动点，过点作于，且与、分别交于点、，连接． 如图，若，，求证：； 若在点运动的过程中，存在四边形是菱形的情形，试探究▱的边和角需要满足的条件． 8. 如图，四边形为菱形，点为对角线上的一个动点，连接并延长交的延长线于点，连接． 如图，求证：； 如图，若，且，求的度数． 9. 如图，矩形中，点是线段上一动点，为的中点，的延长线交于． 求证：； 若，，从点出发，以的速度向运动不与重合设点运动时间为，请用表示的长；并求为何值时，四边形是菱形． 10. 已知正方形内有一动点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，连接、，为中点，连接． 如图，点在正方形的对角线上，求证：； 在的条件下连接，如果，，求的长度； 如图，求证：． 11. 如图，在长方形中，，，点是的中点，点在长方形边上一动点，从点开始沿方向运动，且速度为，设运动时间为秒． 分别求出时和时，的长； 在点运动过程中，为多少时，的长度刚好为； 当点在线段上运动时，连接，若是腰长为的等腰三角形，直接写出此时的值． 12. 如图，已知正方形，点为对角线上的动点不与、重合，，，垂足分别为、，连接、． 求证：． 13. 如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，若点为的中点，连． 求证：点为的中点； 若，，求的长； 如图，若正方形边长为，直接写出点到的距离是______． 14. 已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． 如图，连接、． 四边形是什么特殊四边形？说明理由；       求的长； 如图，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中，已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 15. 如图所示，菱形中，，，点是边上的动点不与点、重合，线段的垂直平分线分别交于点，；的中点分别为点，． 求证：； 求的最小值； 在点的运动过程中，的大小是否变化若没有变化，请求出的度数；若有变化，请说明变化情况． 16. 如图菱形的边长为，，、分别是边，上的两个动点，且满足 求证：≌ 判断的形状，并说明理由 设的面积为，求的取值范围． 17. 如图所示，在边长为的菱形中，，是上不同于，两点的一动点，是上一动点，且． 证明：无论，怎样移动，总是等边三角形； 求面积的最小值． 18. 如图，正方形的边长为，为边上一动点点与点、不重合，连接交对角线于点，过点作交于点． 求证：； 如图，过点作于，在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出的长；若变化，请说明变化规律． 请写出线段、、之间满足的数量关系，不必说明理由． 第1页，共1页 $$