1.1空间向量及其运算 知识全解-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

《空间向量及其运算》知识全解 一、思维导图 二、学习目标 1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法.（数学抽象） 2.学会空间向量的线性运算及它们的运算律.（数学运算） 3.能用空间向量的线性运算解决简单的立体几何问题.（逻辑推理） 4.理解空间向量夹角的概念，并掌握两个向量数量积的定义、性质及运算律.（数学抽象） 5.能用两个向量的数量积解决立体几何中的角度和长度等问题.（逻辑推理） 三、核心知识 空间向量及其线性运算 知识点1 空间向量的概念及表示 空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 . 空间向量用字母 a，b，c，…表示. 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模. 如图1.1-1，向量a 的起点是A，终点是B ，则向量a 也可以记作，其模记为或 . 图1.1-2所示的正方体中，过同一个顶点O 的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为，，，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量. 长度为0 的向量叫做零向量，记为0.当有向线段的起点A 与终点B 重合时，. 模为1 的向量叫做单位向量. 与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为-a. 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有. 方向相同且模相等的向量叫做相等向量 . 因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 空间向量是自由的，对于空间中的任意两个非零向量，可以通过平移使它们的起点重合. 因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 如图1.1-3，已知空间向量a，b ，以任意点O 为起点，作向量，，我们就可以把它们平移到同一个平面α 内. 【平面向量与空间向量的区别与联系】 （1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量. （2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线向量（平行向量）的概念都与平面向量相同. 知识点2 空间向量的线性运算 （1）； （2）； （3）当时，； 当时， ； 当时，. 空间向量线性运算的运算律： （1）交换律：； （2）结合律： ； （3）分配律：， . 知识点3 共线向量及共面向量 对任意两个空间向量a，b ，的充要条件是存在实数λ ，使.（共线向量定理） 如果两个向量a，b 不共线，那么向量p 与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.（共面向量定理） 空间向量的数量积运算 已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作. 即.零向量与任意向量的数量积为 0. 由向量的数量积定义，可以得到： 也记作. 空间向量的数量积的运算律： ； （交换律）； （分配律）. $$