重庆市南开中学校2024届高三上学期7月月考数学试题

重庆南开中学高2024级高三（上）7月考试数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题 共60分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知，，则下列不等式一定成立是（ ） A. B. C D. 4. 若：，则成立的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数、满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的有（ ） A. B. C. D. 10. 为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，即对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定.某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校学生中按男女生比例分配样本，采用分层随机抽样选取了100名学生，其中男生60人，女生40人，调查他们每日使用手机的时间，若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾，根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，则下列说法正确的有（ ） A. 该校男生和女生人数之比 B. 手机是否成瘾一定与学生的性别有关系 C. 从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率 D. 从该校学生中抽样到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为 11. 已知函数，，，则下列说法正确的有（ ） A. ，使得有2个零点 B. ，使得有3个零点 C. 若有3个零点，则 D. 若有4个零点，则 12. 设、、、，称为二阶方阵，全体二阶方阵构成的集合记为，定义中的两种运算：①，，；②设，，则下列说法正确的有（ ） A. 、，有 B. ，，使得 C. 、，有 D. 、，若，则或 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相对应位置上）. 13. 已知幂函数在单调递减，则实数_________. 14. 函数的最小值为_________. 15. 已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线与曲线相切，则双曲线的离心率可以是_________.（写出一个结果即可） 16. 已知定义在的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为_________. 四、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17. 已知数列的前项和为，. （1）若是等比数列，且，求； （2）若，求 18. 已知函数，. （1）当时，求在上的值域； （2）若的极大值为4，求实数的值. 19. 如图，在三棱柱中，底面，，，，、分别为棱、的中点，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20. 为了加强居民对电信诈骗认识，提升自我防范的意识和能力，某社区开展了“远离电信诈骗，保护财产安全”宣传讲座.已知每位居民是否被骗相互独立，宣传前该社区每位居民每次接到诈骗电话被骗的概率为0.1. （1）假设在宣传前某一天，该社区有3位居民各接到一次诈骗电话. （i）求该社区这一天有人被电信诈骗的概率； （ii）该社区这一天被电信诈骗的人数记为，求的分布列和数学期望. （2）根据调查发现，居民每接受一次“防电诈”宣传，其被骗概率降低为原来的10%，假设该社区每天有10位居民接到诈骗电话，请问至少要进行多少次“防电诈”宣传，才能保证这10位居民都不会被骗?（我们把概率不超过0.01的事件称为小概率事件，认为在一次试验中小概率事件不会发生） （参考数据：，，，） 21. 已知椭圆经过点，两个焦点为和. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为. （i）求证：为定值，并求出这个定值； （ii）若，求直线的方程. 22. 已知函数，其中且. （1）讨论的单调性； （2），有，求证：. 重庆南开中学高2024级高三（上）7月考试数学试题 本试卷分第