1.2 空间向量基本定理 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理 一、复习回顾 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 + 若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。 二、新知探究 思考： 任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量, 来表示呢？ 如图，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O。对于任意一个空间向量，设在所确定的平面上的投影向量，问向量能否用向量表示出来？ 分析：由于在所确定的平面上的投影向量，则=又向量与向量共线即= ，从而= + = + 。 因此，如果是空间中三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间空间向量，存在唯一的有序实数组，使得： = + 我们称 分别是向量在上的分向量。 分析：不妨设则两边同时除以得.平面向量定理向量知共面，这与已知条件矛盾。所以有序实数组是唯一的。 二、新知探究 类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理。 定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 = + . 二、新知探究 由此可知，如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底， 都叫做基向量。 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 特别地，如果空间的一个基底中三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{}表示。由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量 ，使+ 。像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 三、例题讲解 例1：如图， M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且用向量。 三、例题讲解 例2：如图，在平行六面体中，AB=4，AD=4， ，， M，N分别为的中点。求证： . 三、例题讲解 例3：如图，正方形的棱长为1， E，F，G分别为， ， 的中点。 （1）求证：EF∥AC; （2）求CE与AG所成角的余弦值。 四、课堂训练 1（P12-1).已知是空间的一个基底，从中选哪一个向量，一定可以与向量构成空间的另一个基底？ 2（P12-2）.已知O，A，B，C为空间的四个点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C是否共面？ 四、课堂训练 3 （P12-3）.如图，已知平行六面体，点G是侧面的中心，且 （1） 是否构成空间的一个基底？ （2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：。 四、课堂训练 5 （P15-5） ．如图，在长方体ABCD -中，M是AC与BD的交点.若=2，=2, 3，求的长. 四、课堂训练 6 （P15-6）.如图，平行六面体- 的底面是菱形，且∠ S60°， ，求证:平面. $$