专题11 解析几何2讲义-2024届高考数学二级结论精巧突破

专题11 解析几何2 二级结论1：圆锥曲线中的定值问题 【结论阐述】 1．在椭圆中：已知椭圆，定点（）在椭圆上，设，是椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，，且满足．则直线的斜率． 2．在双曲线：中，定点（）在双曲线上，设，是双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，，且满足．则直线的斜率． 3．在抛物线：，定点（）在抛物线上，设，是抛物线上的两个动点，直线，的斜率分别为，，且满足．则直线的斜率． 【应用场景】 在圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中，曲线上的一定点（非顶点）与曲线上的两动点，满足直线与的斜率互为相反数（倾斜角互补），则直线的斜率为定值． 【典例指引1】 1．已知点在抛物线上，过点作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于、两点，若直线的斜率为，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例指引2】 2．已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由． 【针对训练】 3．已知抛物线，点Q在x轴上，直线与抛物线C交于M，N两点，若直线QM与直线QN的斜率互为相反数，则点Q的坐标是_____. （2022·山西晋中·高二期末） 4．已知点是椭圆上的一点，且椭圆的离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)两动点在椭圆上，总满足直线与的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值. 5．已知椭圆过点，且离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)、是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值. 6．已知动点到直线的距离比到点的距离大1． (1)求动点所在的曲线的方程； (2)已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值； 7．如图，已知是抛物线上一点，直线，的斜率互为相反数，与抛物线分别交于，两点，且均在点的下方．证明：直线的斜率为定值． 8．已知为抛物线上的一点，，为抛物线上异于点 的两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数．求直线的斜率． 9．已知点，点P是圆C：上的任意一点，线段PQ的垂直平分线与直线CP交于点M． 求点M的轨迹方程； 过点作直线与点M的轨迹交于点E，过点作直线与点M的轨迹交于点F不重合，且直线AE和直线BF的斜率互为相反数，直线EF的斜率是否为定值，若为定值，求出直线EF的斜率；若不是定值，请说明理由． 10．已知，椭圆过点，两个焦点为，，是椭圆上的两个动点，直线的斜率与的斜率互为相反数． 求椭圆的方程； 求证：直线的斜率为定值． （2022沙坪坝·重庆八中） 11．在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q. （1）若点M在第一象限且直线互相垂直，求圆M的方程； （2）若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值； （3）探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由. （2022沙坪坝·重庆南开中学） 12．已知椭圆的左右焦点为、，离心率，过圆上一点Q（Q在y轴左侧）作该圆的切线，分别交椭圆E于A、B两点，交圆于C、D两点（如图所示）．当切线与x轴垂直时，的面积为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）（ⅰ）求的面积的最大值； （ⅱ）求证：为定值，并求出这个定值． 13．已知双曲线过点，且离心率 (1)求该双曲线的标准方程： (2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值. （2021全国高考真题） 14．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 二级结论2：圆锥曲线中的定点问题 【结论阐述】 若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合，则斜边所在直线过定点． （1）对于椭圆（）上异于右顶点的两动点，，以为直径的圆经过右顶点，则直线过定点．同理，当以为直径的圆过左顶点时，直线过定点． （2）对于双曲线上异于右顶点的两动点，，以为直径的圆经过右顶点，则直线过定点．同理，对于左顶点，则定点为． （3）对于抛物线上异于顶点的两动点，，若，则弦所在直线过点．同理，抛物线上异于顶点的两动点，，若，则直线过定点． 【应用场景】 一般情况下，若方程中含有一个或者多个参数，当x取某个常数时，求得的y也是一个与参数无关的常数，这样就可以说方程对应的曲线经过定点．有时圆锥曲线中的定点问题，可以充分考虑几何性质，从特殊情况出发，对可能的定点有初步的判断，争取确定出定