专题6 平面向量讲义-2024届高考数学二级结论精巧突破

专题6 平面向量 二级结论1：极化恒等式 【结论阐述】 （1）极化恒等式：； （2）极化恒等式平行四边形型：在平行四边形中，，即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的； （3）极化恒等式三角形模型：在中，为边中点，则；. 说明：（1）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决； （2）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差. 【应用场景】极化恒等式常用于解决与平面向量数量积有关的求值（定值）､最值､范围等问题. 【典例指引1】 （2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测） 1．如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是_______.            【典例指引2】 2．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【针对训练】 （2022·山东日照市·高三二模）】 3．如图，在平行四边形中，已知，则的值是（    ） A．44 B．22 C．24 D．72 （2022·河北武强中学高三月考） 4．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若－7，则的值是________． （2022·全国福建省漳州市高三期末） 5．在中，为的三等分点，则 A． B． C． D． （2022·海南海口·二模） 6．在正三角形中，点是线段的中点，点在直线上，若三角形的面积为，则的最小值是___________ （2022•南通期末） 7．在面积为2的中，，分别是，的中点，点在直线上，则的最小值是______. （天津高考） 8．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 二级结论2：三角形“四心”向量形式的充要条件 【结论阐述】设为所在平面上一点，内角，，所对的边分别为，，，则 （1）为的外心. （如图1） （2）如图2，为的重心. （3）如图2，为的垂心. （4）如图3，为的内心. 说明：三角形“四心”——重心，垂心，内心，外心 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等. 【应用场景】主要用于有关向量与三角形“四心”问题的判断与研究. 【典例指引1】 9．在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．满足，则点是的外心 B．满足，则点是的重心 C．满足，则点是的垂心 D．满足，且，则为等边三角形 【典例指引2】 10．已知是平面上的4个定点，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【针对训练】 11．在△中，，，，O为△的内心，若，则（    ） A． B． C． D． 12．已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 13．设G为的重心，若，，，则___________ 14．设O为的外心，若，，则___________. 15．设I为的内心，若，，，则___________ 二级结论3：奔驰定理 【结论阐述】奔驰定理：设是内一点，，，的面积分别记作，，则. 说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式： ①是的重心. ②是的内心. ③是的外心. ④是的垂心. 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一. 【应用场景】奔驰定理常用于解答与三角形内任意一点有关的三角形面积问题. 【典例指引1】 （2022·四川西昌·高二期末） 16．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【典例指引2】 17．设G是△ABC重心，且，则_________． 【针对训练】 一､单选题 18．若是平面上的定点，，，是平面上不共线的三点，且满足（），则点的轨迹一定过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 19．若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点P满足+λ(λ∈(0，+∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 20．已知是平面内一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则点的轨迹一定通过的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 21．在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．