1.2空间向量基本定理5题型分类（讲+练）-【解题秘籍】2023-2024学年高二数学同步知识·题型精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理5题型分类 一、空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 二、空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a=xi+yj+zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 三、空间向量基本定理的应用 1．求异面直线的夹角：. 2．证明共线(平行)、共面、垂直问题： (1)对于空间任意两个向量、()，的充要条件是存在实数λ，使＝λ. (2)如果两个向量，不共线，那么向量p与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝. (3)若是非零向量，则. 3．求距离(长度)问题：(). （一） 空间向量基底的判断 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同； (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念； (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. (4)基底的选择一般有两个条件：（1）基底必须是不共面的非零向量；（2）在进行基底选择时要尽量选择已知夹角和长度的向量，这样会让后续计算比较方便． 题型1：空间向量基底的判断 1-1．（2023秋·高二课时练习）已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基底的向量是（　　） A． B． C． D． 1-2．【多选】（2023·高二课时练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 1-3．【多选】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）是空间的一个基底，与、构成基底的一个向量可以是（    ） A． B． C． D． 1-4．（2023秋·高二课时练习）已知是空间向量的一组基底，，一定可以与向量，构成空间向量的另一组基底的是（　　） A． B． C． D． 1-5．（2023春·河南开封·高二统考期末）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（    ） A． B． C． D． 1-6．【多选】（2023春·江西萍乡·高一统考期末）已知正六边形的边长为1，下列说法正确的是（    ） A．向量与可以作为平面内一组基 B． C． D． 1-7．（2023秋·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． （二） 利用基底表示空间向量 1、用基底表示向量时，若基底确定，要利用向量加法、减法的三角形法和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行化简；若没给基底，首先要选出基底，再求解. 2、用基底表示向量的步骤: (1)定基底：由已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)寻目标：由确定的基底表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形化简． (3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 题型2：利用基底表示空间向量 2-1．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（    ）    A． B． C． D． 2-2．（2023秋·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考期末）已知三棱锥中，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，则（    ） A． B． C． D． 2-3．（2023春·安徽滁州·高二统考期末）在四面体中，是的中点，是的中点．设，，，则（    ） A．B． C． D． 2-4．（2023秋·高二课时练习）如图，在正方体中，M，N分别是的中点，O为的中点.设，用表示下列向量：① ；② .    2-5．（2023秋·高一单元测试）在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 2-6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）在三棱锥P-ABC中，