湖南省 株洲市 天元区株洲市第二中学2023年自主招生模拟考试（三）数学试题

株洲市二中2023年自主招生模拟考试（三) 数学试题卷 考试时量：120分钟 满分：100分 一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分） 1.估计√2019的值应在() A、43和44之间 B、44和45之间C、45和46之间 D、46和47之间 2.已知实数a、b、c满足2a+3|+4-b=0,(c-2)2+4b-16=0,则ab+c的值为() A.0 B.3 C.6 D.9 3.不等式x1,2+2_-1的正整数解的个数是( 23 A.4个 B.3个 C.2个D.1个 4.方程2x-x2=2 的正实数根个数为() A、0 B、1 C、2 D、3 5.无论m为任何实数，二次函数y=x2+(2-m)x+m的图像一定过的点是（) A(1,3).B.(1,0)C.(-1,3)D.(-1,0) 6.如图，正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AB、BC上，AE=3,CF=1,P是对 角线AC上的个动点，则PE+PF的最小值是() A.89 &厉 c2D.45 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 7.因式分解：16x3-x= 2x- y= 8.函数 x一1中自变量的取值范围是 9.观察下列等式： 1=12:1+3=2;1+3+5=3;1+3+5+7=4;… 则1+3+5+…+2019= M 10.如图，正方形ABCD的边长为2V15,E,F分别是AB,BC的中 点，AF与DB,DB分别交于点N则△DW的面积是 三、解答题（共5道题，共56分）单来中 11.(6分)已知2a2+a-4=0,a-b=2 代的1图 求1+2的值 a+l b 七北酒，水共阳款， 12.(12分)如图，在矩形0ABC中，0A=3,0C-2,F是AB上的一个动点F不与A,B重合)， 过点P的反比例函数y广上(k>0)的图象与BC边交于点E. (1)当F为AB的中点时，求点0到AE的距离OD的长。 (2)当点F为线段AB上任意一点时，试问 BF 是否为定值？ BE 请说明理由。 第12题图 13.(12分)如图，AB是⊙0的直径，∠BAC-90°，四边形EB0C 是平行四边形，EB交⊙0于点D,连接CD并延长交AB的延长线 于点F. (1)求证：CF是⊙0的切线： D (2)若∠P=30°，B=4,求图中阴影部分的面积(（结果保留根号和 π) 14.(12分)阅读、理解、应用 必泉交自中一 第13题图 研究0°-360°间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦正切和余切四种三角 函数即在图1所示的直角三角形ABC,∠A是锐角，那么 ∠的对边 ∠的邻边 sinA= ∠的对边 斜边 COsA= ∠的邻边 斜边 tanA= ∠的邻边'cotA ∠的对边 为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 终边、y) 烯边 Px、y》 始边 图3 图2 终边 图 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox,建立直角坐标 系（图2）在角a的终边0Q上任取一点P,它的横坐标是x,纵坐标是y,终边0Q可以 看作是将射线ox绕点0逆时针旋转a°后所得到的。P和原点0(0,0)的距离为z =√X2+y2(x总是正的)然后把角a的三角函数规定为： sina =cosa=,tana =cota (其中x,y分别是点P的横、纵坐标) 我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同 样图2中四个比值的大小也仅与角ā的大小有关，四个比值的正、负取决于角a的终边 所在的象限，而与点P在角ā的终边位置无关。 比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第 二种定义回答下列问题，每题3分，共12分 1)如图3，若270°(a<360,则角a的三角函数值sina、cos a、tana、cota,其中取正值的是一 2)若角a的终边与直线y2x重合，则sina+cosa= 3)若角a是钝角，其终边上一点P(x,√5)且c0sa 4X,则tana 4)若0°≤a≤90°，则sina+cosa的取值范围是 15.(14分)如图，已知抛物线y-x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于 点C,若已知B点的坐标为B(8,0), (1)求抛物线的解析式及其对称轴方程： (2)连接AC、BC,试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由： (3)M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若∥y轴，求MN的最大值： (4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件 的Q点坐标：若不存在，请说明理由株洲市二中2023年自主招生模拟考试（三) 数学解析及评分标准 一、选择题（共6小题，每小题4分，共24分） 1-6BB AA AD 二、填空题（共5小题，