专题2.10 确定圆的条件（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.10 确定圆的条件（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 【知识点二】相关概念——外心 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。 三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点 特别提醒： （1） 一个三角形有且只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形； （2）三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形的外部；直角三角形外心是斜边的中点； （3）“接”说明三角形的顶点在圆上，即圆经过三角形的各个顶点；“内”与“外”是相对而言的，“外”是指在三角形外，“内”提指在圆内。 【考点一】三角形外接圆的理解与认识 【例1】如图，是的外接圆，则点O是的（    ） A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案． 解 ：是的外接圆， 点O是的三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 【点拨】本题考查三角形的外接圆和外心，正确把握外心的定义是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆； ②任何圆有且只有一个内接三角形； ③三角形的外心不一定在三角形内； ④三角形的外心到三角形三边的距离相等； ⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 解 ：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题； ②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题； ③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题； ⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题； 综上，真命题的个数为2个； 故选B． 【点拨】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键． 【变式2】三角形的外心具有的性质是（    ） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 【答案】D 【分析】直接根据三角形的外心的定义判断即可 解 ：A．外心不一定在三角形外，错误； B．外心不一定在三角形内，错误； C．外心到三角形三角距离相等，错误； D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确； 故选D． 【点拨】本题考查了三角形的外心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等． 【考点二】三角形外心坐标 【例2】如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取格点，，，，且直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形，则可得，的交点为为的外心，再分别求解，的解析式即可得到答案． 解 ：如图，取格点，，，，则直线是线段的垂直平分线，四边形是正方形， ∴直线是线段的垂直平分线， 记，的交点为，则为的外心， ∵，，， ∴直线为，，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，， ∴，即的外心坐标为：． 故选C． 【点拨】本题考查的是坐标与图形，正方形的性质，三角形的外心的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握“三角形的外心是三角形的三边垂直平分线的交点”是解本题的关键． 【举一反三】 【变式1】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，作的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点的坐标即可． 解 ：连接，作的垂直平分线，如图所示： 在的垂直平分线上找到一点，则满足： ， 点是过、、三点的圆的圆心， 即的坐标为， 故选：C． 【点拨】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是根据垂径定理得出外接圆的圆心位置． 【变式2】如图，