重难培优01 空间向量与立体几何的存在性问题-2023-2024学年高二数学上学期考点剖析及精准练习（人教A版2019）

重难培优01 空间向量与立体几何的存在性问题 建立适当的空间直角坐标系,将相关点、相关向量用坐标表示。 假设所成的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的位置关系、数量关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在。 常见的位置关系： 在直线上：,使得 在射线上：,使得 在线段上：,使得 在平面上：,使得 题型一 与平行有关的存在性问题 1．已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面.    (1)在上是否存在一点，使得平面？ (2)求二面角的余弦值. 2．如图所示，在四棱锥，面，底面为正方形． (1)求证：面； (2)已知，在棱上是否存在一点，使面，如果存在请确定点的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由． 3．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 4．如图所示，在直三棱柱中，，四边形均为正方形，点在线段上，点是线段的中点. (1)若，求平面与平面所成角的余弦值. (2)探究：在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 5．如图，在四棱锥中，，，，.O为中点，且平面. (1)求点B到平面的距离； (2)线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值. 6．如图，圆锥的顶点为，底面圆心为为两条互相垂直的直径，是底面圆周上的动点（异于），且在直径的两侧.已知. (1)若，求证：； (2)若在线段上存在点（异于），使得平面，求的取值范围. 题型二 与垂直有关的存在性问题 7．如图，在棱长为1的正方体中，点E为BC的中点． (1)在B1B上是否存在一点P，使平面？ (2)在平面上是否存在一点N，使平面？ 8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点. (1)求证：平面BDE. (2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为，求PA的长度. (3)若PA=2，线段PC上是否存在一点F，使AF⊥平面BDE？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由. 9．图1是直角梯形ABCD，，，四边形ABCE是边长为4的菱形，并且，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2. (1)求证：平面平面ABED； (2)在棱上是否存在点P，使得P到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值. 10．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，E为BC的中点. (1)证明：平面ABCD (2)在线段AN上是否存在点S，使得平面AMN，如果存在，求出线段AS的长度. 11．如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，，，点是的中点， (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)证明：在线段上存在点，使得.并求的值. 12．如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4． (1)求点A到平面PCD的距离； (2)线段BP上是否存在点E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 13．如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值是，求的值及到平面的距离； (3)若，在线段上是否存在一点，使得，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 题型三 与夹角有关的存在性问题 14．如图，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图所示得三棱锥.    (1)证明：； (2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 15．如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 16．在底面ABCD为梯形的多面体中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．    (1)求证：BD⊥AE； (2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明． 17．如图，四边形是边长为1的正方形，平面平面，且. (1)求证：平面 (2)在线段上是否存在点（不含端点），使得平面与平面的夹角为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 18．如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．      (1)若平面平面，证明：； (2)点是棱上一动点，且