2.1.2两条直线平行和垂直的判定（教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

2.1.2两条直线平行和垂直的判定（教学设计） 1、 课时教学内容 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围． 2、 课时教学目标 1.理解两条直线平行与垂直的条件,培养数学抽象的核心素养. 2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直，强化数学运算的核心素养. 3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题，培养逻辑推理的核心素养. 3、 教学重点、难点 1.重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件 2.难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系． 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢? 环节二 观察分析，感知概念 思考 问题1：我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行． 当两条直线与直线平行时，它们的斜率与满足什么关系？ 注释：若没有特别说明，说“两条直线，”时，指两条不重合的直线． 如图2.1-7，若，则与的倾斜角与相等， 由，可得，即． 因此，若，则． 环节三 抽象概括，形成概念 反之，当时，， 由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，，因此． 于是，对于斜率分别为，的两条直线，，有 显然，当时，直线的斜率不存在，此时． 若直线，重合，此时仍然有． 用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论． 例2已知，，，，试判断直线与的位置关系，并证明你的结论． 解：如图2.1-8，由已知可得直线的斜率， 直线的斜率，因为， 所以直线． 环节四 辨析理解 深化概念 例3已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明． 解：如图2.1-9，由已知可得边所在直线的斜率，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率，边所在直线的斜率． 因为，，所以，． 因此四边形是平行四边形． 显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交．在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形． 问题2：当直线，垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？ 设两条直线，的斜率分别为，，则直线，的方向向量分别是，，于是，即．也就是说． 当直线或的倾斜角为时，若，则另一条直线的倾斜角为； 反之亦然． 由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于； 反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相垂直． 即 环节五 概念应用，巩固内化 例4已知，，，，试判断直线与的位置关系． 解：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以． 例5 已知，，三点，试判断的形状． 分析：如图2.1-10，猜想，是直角三角形． 解：边所在直线的斜率，边所在直线的斜率． 由，得，即，所以是直角三角形． 环节六 归纳总结,反思提升 问题3：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1.知识总结： 利用斜率公式来判定两直线垂直的方法 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 2.学生反思： （1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？