第65讲 双曲线的标准方程与性质-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第65讲 双曲线的标准方程与性质 一、 双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的 (小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ． 集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0. (1)当a＜c时，点P的轨迹是 ； (2)当a＝c时，点P的轨迹是 ； (3)当a＞c时，点P ． 二 、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 a，b，c的关系 实虚轴 1、 常用结论 1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径． 2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． 3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 1、（2023•乙卷（文））设，为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是　　 A． B． C． D． 2、（2021•甲卷（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为　　 A． B． C． D． 3、（2023•天津）双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为　　 A． B． C． D． 4、（2023•北京）已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为 ． 5、（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为 ． 6、（2021•乙卷（理））已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 ． 7、（2021•乙卷（文））双曲线的右焦点到直线的距离为 ． 8、【2020年新课标1卷文科】设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（       ） A． B．3 C． D．2 9、【2020年新课标3卷理科】设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（       ） A．1 B．2 C．4 D．8 1、双曲线－＝1的焦距为(　　) A. 5 B. C. 2 D. 1 2、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为 2，点P(2，1)在双曲线C的一条渐近线上，则双曲线C的方程为(　　) A. x2－＝1 B. －y2＝1 C. －＝1 D. －＝1 3、设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　　) A．1 B．17 C．1或17 D．以上均不对 4、已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5、 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 6、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为________． 考向一　双曲线的定义 例1　(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 (2)(2022·滨州质检)－＝4表示的曲线方程为(　　) A.－＝1(x≤－2) B.－＝1(x≥2) C.－＝1(y≤－2) D.－＝1(y≥2) 变式、已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________. 方法总结：(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立为|PF1|·|PF2|的关系． (3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支． 考向二 双曲线的标准方程 例2