3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式9种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式9种常见考法归类 1.二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点. 注：函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标，也是函数值为零时自变量的x的值，也是函数相应的方程相异的实数根． 2.二次函数的图象、一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系(当a>0时 ) 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异实根x1，2＝ 两相等实数x1＝x2＝－ 没有实根 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点x1，2＝ 有一个零点x1＝x2＝－ 无零点 3.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式叫作一元二次不等式. 4.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 5.分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(其中a，b，c，d为常数) 法一： 或 法二： (ax＋b)(cx＋d)＞0 ≤0 法一： 或 法二： ＞k (其中k为非零实数) 移项通分转化为上述两种形式 6.与一元二次不等式相关的恒成立问题 (1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔y最大值≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔y最小值≥k 7.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题． 8.二次函数零点的有关解题策略 （1）求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点． （2）函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点． （3）求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤 ①若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零； ②若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数．若可以因式分解，则一定存在零点． ③若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等． 注：二次函数的零点就是相应一元二次方程的实数根，判断是否有零点，即用Δ＝b2－4ac判断一元二次方程的根的情况，解一元二次方程得函数的零点.也可画出函数的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数零点. 9.根据二次函数的零点求参数的值 由函数的零点(方程的根)求参数的取值时，由条件构建关于参数的关系式；解关系式求参数值；结合一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac及根与系数的关系列式求解. 10.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点的论证 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2－4ac. （1）Δ>0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）有两个零点. （2）Δ＝0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）有一个零点. （3）Δ<0⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）无零点. 11.解决一元二次方程根的分布问题应注意 (1)可转化为函数问题，要画出符合题意的草图. (2)结合二次函数草图考虑四个方面；①Δ的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③开口方向；④端点处的函数值与零的关系. (3)列出不等式(组)，要验证图象是否符合. (4)若看根的正负问题，可利用根与系数的关系及根的判别式列不等式求解. 注：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究 结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理 (1) ⇔ 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两