重难点09 球的切、接问题及截面、翻折问题（6种考法）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）

重难点09球的切、接问题及截面、翻折问题（6种考法） 【目录】 考法1：正方体（或长方体）的切、接球 考法2：柱体的切、接球 考法3：锥体的切、接球 考法4：台体的切、接球 考法5：截面问题 考法6：翻折问题 二、命题规律与备考策略 一、外接球题型归类： （1）三线垂直图形 计算公式：三棱锥三线垂直还原成长方体 （2）由长方体（正方体）图形的特殊性质，可以构造如下三种模型： ①三棱锥对棱相等．，，，是三个对棱棱长． ②等边三角形与等腰直角三角形连接． ③投影为矩形． （3）线面垂直型：线垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，满足正弦定理）． 计算公式；其中 （4）面面垂直型 一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型 （5）垂线相交型 等边或者直角：等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心． 直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心．许多情况下，会和二面角结合． 二、求多面体的外接球的半径，常用方法有： （1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径； （2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径； （3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 三、立体几何中截面的处理思路： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 考法1：正方体（或长方体）的切、接球三、题型方法 1．（多选）（2023·江苏徐州·校考模拟预测）棱长为1的正方体中，点为线段上一点（不包括端点），点为上的动点，下列结论成立的有（    ） A．过的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形 B．的最小值为 C．当点为线段中点时，三棱锥的外接球的半径为 D．两点间的最短距离为 考法2：柱体的切、接球 2．（2023•吉安一模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长，其外接球的表面积为20π，D是B1C1的中点，点P是线段A1D上的动点，过BC且与AP垂直的截面α与AP交于点E，则三棱锥A﹣BCE的体积的最大值为（　　） A． B． C． D． 考法3：锥体的切、接球 3．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是（　　） A．[18，] B．[，] C．[，] D．[18，27] 4．（2023•新罗区校级三模）已知正六棱锥P﹣ABCDEF的各顶点都在球O的球面上，球心O在该正六棱锥的内部，若球O的体积为36π，则该正六棱锥体积的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．（2023•雅安三模）已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为（　　） A． B． C． D． 6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知正四棱锥的各顶点都在球的球面上，，由三点确定的平面与侧棱交于点，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知圆锥PO的高及底面圆直径均为2，若圆锥PO在球内，则球的体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）如图，三棱锥中，的面积为8，则三棱锥外接球的表面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 9．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球，相切于点，.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球，的半径分别为6和3，球心距离，则此椭圆的长轴长为 .    11．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）在棱长为6的正方体中，，分别为，的中点，则三棱锥外接