2.3.3 点到直线的距离公式-【高效课堂】2023-2024学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第一册）

2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.3 点到直线的距离公式 LET’S START #复习回顾 平面内两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)， 问题探究 如图，已知点P(x0,y0)，直线l：Ax+By+C=0，如何求点P到直线 l 的距离？ x y O P Q l 问题探究 x y O P Q l P到直线 l 的距离，即垂线段|PQ|的长度 问题探究 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离？ x y O P Q l 问题探究 x y O M(x,y) Q l P(x0,y0) P到直线 l 的距离，即向量的模 n 小贴士 如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n？ 问题探究 x y O M(x,y) Q l P(x0,y0) P到直线 l 的距离，即向量的模 n =(x-x0,y-y0)，n= 一、点到直线的距离公式 点P(x0,y0),直线l：Ax+By+C=0 点P到直线 l 得距离为：d= 点P到直线 l 得距离|PQ|为在上的投影长度 x y O P Q l M 练习巩固 例1(求点到直线距离) 求点P(-1,2)到直线l：3x=2的距离. 注意：直线要化为一般式！ 练习巩固 例2(求直线围成图形的面积) 已知ΔABC的三个顶点A(1,3)，B(3,1)，C(-1,0)，求ΔABC的面积. x y O A C B 练习巩固 例3(已知点到直线距离求参数) 已知点A(a,6)到直线3x-4y=2的距离d=4，求a的值. 应用点到直线的距离公式应注意的问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系 练习巩固 例4(求到两点间距离相等的直线方程) 已知点P(1,1)，Q(5,4)到直线l的距离都等于2，求直线l的方程. 【分析】根据直线l与直线PQ平行，过线段PQ的中点或斜率不存在分类讨论 练习巩固 解:当l//PQ时，因为直线PQ的方程为3x-4y+1=0， 所以可设直线l的方程为3x-4y+m=0， 由，得m=11或-9， 即直线l的方程为3x-4y+11=0或3x-4y-9=0 当l与PQ不平行时，由题意，直线l经过PQ的中点M(3, 当直线l斜率存在时，设直线l为y-=k(x-3)，即kx-y+-3k=0， 则，得k=，所以直线l的方程为7x+24y-81=0. 当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x=3，符合题意. 综上，直线l的方程为3x-4y+11=0或3x-4y-9=0或7x+24y-81=0或x=3 练习巩固 例5(求点到直线的对称点) 若点A(a+2,b+2)关于直线4x+3y+11=0对称点是B(b-a,a-b)，求a、b的值. 【分析】根据点关于线对称的性质，结合斜率公式、中点坐标公式进行求解即可. 练习巩固 例5(求点到直线的对称点) 若点A(a+2,b+2)关于直线4x+3y+11=0对称点是B(b-a,a-b)，求a、b的值. 课堂小结 点P(x0,y0),直线l：Ax+By+C=0 点P到直线 l 得距离为：d= 点P到直线 l 得距离|PQ|为在上的投影长度 $$