第26讲 空间向量在立体几何中的应用讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第26讲空间向量在立体几何中的应用 一，基础知识回顾 1.直线的方向向量与平面的法向量 (I)直线1上的向量e以及与 的向量叫做直线1的 方向向量. (2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线 平面a, 那么称向量n垂直于平面a,记作 此时把 叫做平面a的法向量， 2.线面关系的判定：直线l的方向向量为e=(a1,b1,c), 直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平面a的法向量为n1 =(&1,y1,z),平面B的法向量为2=(2，y2,z2) (1) 如 果 1∥ 12, 那 么e∥ e2→ → (2)如果1⊥l2,那么e1⊥e2- (3) 若 1∥ a,则 e1⊥1→e1·n1=0 (4) 若 1⊥ 则 e∥ h1→ e1=k1 (5) 若 a∥B, 则 1 n2→ h1= kn2 (6) 若 oa⊥B, 则 n1⊥ n2→ n2= 0 3.利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角：①范围：两条异面直线 所成的角θ的取值范围是 ②向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b,其夹 角为p,则有cos0= (2)二面角：①二面角的取值范围是 ②二面角的向量求法：(i)若AB、CD分别是二面角 lB的两个面内与棱1垂直的异面直线，则二面角的 大小就是向量AB与CD的夹角（如图①）： 心少 (i)设n1、2分别是二面角lB的两个面a、B的法向 量，则向量1与2的夹角（或其补角）的大小就是二面 角的平面角的大小（如图②③） (3)直线与平面所成的角：①范围：直线和平面所成 的角0的取值范围是 ②向量求法：设直线1的方向 向量为a,平面的法向量为u, 直线与平面所成的角为0,4 与u的夹角为Φ，则有sin0 三 或cos0= 4.利用空间向量求空间距离 (1)利用向量求点A到直线1的距离步骤：①找到直线1的方向向量s:②在直线1上任取 一点P;③计算点P到点A的距离1：④计算在向量s上的投影·：⑤计算点A到直 线1的距离d= (2)利用向量求点A到平面π的距离步骤：①找到平面π的法向量：②在平面x内任取一 点P:③计算在向量n上的投影n:④计算点A到平面r的距离d= 二.典例精析 题型一：空间中的平行与垂直 例1：如图所示，在四棱锥P一ABCD中， 底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EF ⊥PB于点F. (1)证明：PA∥平面EDB;(2)证明：PB⊥平 面EFD 变式训练1：在四棱锥P一ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD= CD=2AB=2,M为PC的中点.(I)求证：BM∥平面PAD: (2)平面PAD内是否存在一点N,使N⊥平面PBD?若存在，确定N 的位置：若不存在，说明理由. 题型二：空间的角的计算 例2：如图，圆锥的高P0=4,底面半径OB=2,D 为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上 一点，满足EF⊥DE. (I)求异面直线EF与BD所成角的余弦值： (2)求二面角O-DF-E的正弦值. 变式训练2：如图所示，在直三棱柱ABC1一ABC中，AB⊥AC,AB=AC=2,AA=4, 点D是BC的中点， ()求异面直线AB与CD所成角的余弦值： ②)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值. 题型三：空间中的距离的计算 例3：已知正方体ABCD-AB1CD1的棱长为1，点E是AD1的中点，求点E到直线BD的 距离. 变式训练3：正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为1，E,F分别为BB1, CD的中点，试求点F到平面ADE的距离. 题型四：空间向量处理空间角的综合问题 例4：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC =AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点. (I)证明：BE⊥DC: (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值： (③)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦 值。 变式训练3：如图甲，在平面四边形ABCD中已知∠A=45°∠C=90°，∠ADC=105°， AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)，设点E、F分 别为棱AC、AD的中点.(I)求证：DC⊥平面ABC: (②)求BF与平面ABC所成角的正弦值； (3)求二面角B一EF一A的余弦值， 三，方法规律总结 1.用空间向量解答立体几何问题的一般步骤：()几何问题向量化：线线、线面、而面的 平行、垂直、夹角等位置关系问题，利用立体几何中直线与平面有关判定定理和性质定理， 将问题转化为直线的方向向量或平面的法向量之间的平行、垂直、夹角关系；(2)进行向量 运算：通常需通过建立空间直角坐标系将问题转化为空间向量的坐标运算.③)回归几何问 题。如