第25讲 空间中平行与垂直的判定与性质讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第25讲空间中的平行于垂直的判定与性质 一。基础知识整合 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 若平面外一条直线与 判定定理 的一条直线平行， 则该直线与此平面平行 (线线平行线面平行 如果一条直线与一个平面 平行，那么过该直线的任 性质定理 意一个平面与已知平面的 与该直线平行 (线面平行→线线平俞 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号诒言 如果一个平面内有两 条 都平 判定定理 行于另一个平面则这 两个平面平行（线面 平行一面面平行 如果两个平行平面同 性质定理 时与第三个平面_那 么它们的平行（面 面平行线线平俞 3. 直线与平面垂直的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平 判定定理 面内的 都垂直， 则该直线与此平面垂直 若果两条直线同垂直于 性质定理 一个平面，那么这两条 直线 4.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面经过另 判定定理 个平面的一条三，则 这两个平面互相垂直 如果两个平面互相垂 性质定理 直，那么在一个平面内 垂直于 的直线垂 直另一个平面 典例精析 题型一：空间中平行关系的判定 例1：如图所示，在正方体ABCDA B1CD1中，E、F、G、H分别是BC、 CC1、CD1、A1A的中点.求证：(I)BF∥HD1:(2)EG∥平面BBDD 变式训练1：如图，在正方体ABCD-A BC D1中，S是BD的中点，E、F、G分别是BC、 DC、SC的中点，求证： (I)直线EG∥平面BDDB1: D. (②)平面EFG∥平面BDDB1 题型二：空间中平行关系的性质 例2：如图，直线CD、AB分别平行于平面EFGH,E、F、G、H分别 在AC、AD、BD、BC上，且CD=a,AB=b,CD⊥AB (I)求证：四边形EFG丑是矩形： (2)点E在AC上的什么位置时，四边形EFGH的面积最大？ 变式训练2：如图，已知a∥B,点P是平面a、B外的一点（不在a 与B之间)，直线PB、PD分别与a、B相交于点A、B和C、D (1)求证：AC∥BD: (2)已知PA=4cm,AB=5cm, PC=3cm,求PD的长. (3)若点P在a与B之间，试在(2)的条件下求CD的长. 题型3：空间中垂直关系的判定 例3：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD,AB∥CD, PD=AD,E是PB的中点，F是DC上的点且DF=I2AB,PH为 △PAD中AD边上的高. (1)证明：PH⊥平面ABCD: (2)证明：EF⊥平面PAB, A 变式训练3：如图所示，已知PA⊥⊙0所在平面，B是⊙0的直径，点C是⊙0上任意一点， 过A作AE⊥PC于点E,AF⊥PB于点F,求证： (1)AE⊥平面PBC: (2)平面PAC⊥平面PBC: (3)PB⊥EF. 题型4：空间中垂直关系的性质 例4：如图，在正方体ABCD-A:BCD中，点E、F分别在AD、AC上，且EF⊥A1D,EF⊥AC 求证：EF∥BD. C A B E 变式训练4：已知点P是菱形ABCD外一点，∠DAB=60°，其边长为a, 侧面PAD是正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,G为AD的中点， (1)求证：AD⊥PB: 人0 (2)若E为BC边中点，能否在棱PC上找一点F,使平面DEF⊥平面ABCD. 并证明你的结论. 题型5：空间中平行垂直关系的综合问趣 例5：如图，在四面体PABC中，PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分 别是棱AP,AC,BC,PB的中点. (I)求证：DE∥平面BCP: (②)求证：四边形DEFG为矩形： (3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由. 变式训练5：如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,AB=2AD =2,CD=3,直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA、PB的中点.求 证： (I)MN∥平面PCD: (2)四边形MNCD是直角梯形： (3)DN⊥平面PCB. 三。方法规律总结 1.线面平行问题的常见类型及解题策略 (1)线面平行的证明问题，判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公 共点)：②利用线面平行的判定定理(ada,ba,a∥b→a∥a):③利用面面平行的性质(a ∥B,aa=a∥)：④利用面面平行的性质(a∥B,ata,atB,a∥a=a∥). (2)线面平行的採索性问题， ①对命题条件的探索常采用以下三种方法：a,先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明： b.先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性：c.把几何问题转 化为代数问题，探索命题成立的条件.②对命题结论的探索常采用