第24讲 不等式选讲讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第24讲 不等式选讲 一，基础知识回顾 1.绝对值不等式的解法 (I)含绝对值的不等式r<a与xpa的解集： 不等式 a>0 a=0 a<0 x<a x>a (2)a十1≤c(c0)和十b≥c(c>0)型不等式的解法： ①am+b≤ce ②am+b≥c (3)一ad+x-b≥c(c>0)和e一a+一b≤c(c>0)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想： ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想： ③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想。 2.含有绝对值的不等式的性质 (I)如果a,b是实数，则 _≤a+h1≤ ,当且仅当 时，等号成立 (2)如果a,b,c是实数，那么a-c≤ 当且仅当 时，等号成立 二。典例精析 题型一：绝对值不等式的性质定理的应用 例l:己知la≠bl,m=a一|blla一b,n=|a+blla+bl,则m,n之间的大小关系是 变式训练1：已知实数a,b,c满足a-c<b,则下列不等式成立的是(D) A.a<b+c B.la>b-c C.a<c-b D.lal<b+c 题型二：绝对值不等式的证明 例2：设m等于la,b1和1中最大的一个，当x>m时，求证：ax+bx2<2 变式训练2：已知x<a4,M<a6,求证：2xr-3y|<a 题型三：含绝对值不等式的解法 例3：解下列不等式： -1. (1)x2-x+2>x2-3x-4 (2)x-5引+x+3≥10 变式训练3：解不等式 (1)x2-12>2x (2)2x-1<x+1. 题型四：利用绝对值不等式求最值 例4：(1)对任意x,y∈R,求x一1川++y-1川+y+1的最小值. (2)对于实数x,y,若x一1川≤1，y-2≤1，求x一2y+1的最大值. 变式训练4：(1)若关于x的不等式2014一x+2015一刘≤d有解，求d的取值范围. (2)不等式x十1x≥a一2十sny对一切非零实数x,y均成立，求实数a的取值范围。 题型五：绝对值不等式的综合应用 例5：设函数fx)=k一3引一k十1，x∈R.(I)解不等式x)一1： (2)设函数gx)=比十a一4，且g)≤x)在x∈[-2,2上恒成立，求实数a的取值范围. -2 变式训练5：已知函数fx)=x+a+c一2引 (1)当a=-3时，求不等式x)≥3的解集： (2)若)≤x一4的解集包含[1,21，求a的取值范围 三.方法规律总结 1,解绝对值不等式的基本方法有：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值 符号的普通不等式：（②）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝 对值符号的普通不等式：（③）利用绝对值的几何意义，数形结合求解. 2.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：()利用绝对值的几何意义：（②）利用绝对值 三角不等式，即lal+lb1≥lalh≥dl一|b外：(3)利用零点分区间法. 3,含绝对值不等式综合问题：(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分 段西数来解决。（②）数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法。 四.课后练习作业 1.解不等式r一1川一x一5引<2的解集， 2.若存在实数x使一a十k一1≤3成立，求实数a的取值范围， 3. 3.若不等式2x一1川+x+2≥a2+12a+2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围. 4.对于任意实数a,b,已知a一b≤1,2a-1川≤1，且恒有4a-3b十2≤m,求实数m的取值 范围. 5.已知关于x的不等式2x一m≤1的整数解有且仅有一个值为2，求关于x的不等式x一1川十| x一3引≥m的解集. 6.已知函数)=x+3引一x一2 (I)求不等式x)≥3的解集； (2)若)≥a一4有解，求a的取值范围. -4 7.己知函数f)=k十1一2x一a,a>0. (I)当a=1时，求不等式f>1的解集： (2)若x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. 8.已知函数x)=x一a,其中a>1 (1)当a=2时，求不等式x)≥4一比-4的解集： (2)已知关于x的不等式2x+a)一2x≤2的解集为a\vs4\al\col(x|1≤x≤2)，求a的值. 9.已知a和b是任意非零实数. (1)求2a+b+2a-bla的最小值： (2)若不等式2a十1+2a一b例≥a(2十x+2-x)恒成立，求实数x的取值范围. -5 10.已知函数f)=2x-1+2xr十a,gc)=x+3 (I)当a=一2时，求不等式)g)的解集： (2)设a>-1,且当x∈-fal2)时，fx)≤gx),求a的取值范围. -6-第24讲 不等式选讲 一，基础知识回顾 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式<a与xa的解集： 不等式 >0 a