第23讲 基本不等式与简单的线性规划讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第23讲 基本不等式与简单的线性规划 一，基础知识回顾 1.基本不等式ab≤a十b2(1)基本不等式成立的条件： (2)等号成立的条件：当且仅 当 时取等号. 2.几个重要的不等式：(1)a2+b2≥ (a,beR).(2)ba+ab≥(a,b同号) (3)ab<laws4alcol(f(a+b2))2(a,bER).(4)\aws4\alcol(f(a+b2))2 a2+b22. 3.算术平均数与几何平均数：设a>0,b>0,则4，b的算术平均数为 ，几何平均 数 为 基本不等 式可 叙述为 4.利用基本不等式求最值问题：己知x>0,y0,则()如果积灯y是定值p,那么当且仅当 时，x十y有最值是 (简记：积定和最小).(2)如果和x十y是定值p, 那么当且仅当 时，y有最 值是 (简记：和定积最大). 5.线性规划的有关概念：(1)线性约束条件一由条件列出一次不等式（或方程）组.(2)线性 目标函数一由条件列出一次函数表达式.(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件 下的最大值或最小值问题.（④）可行解：满足 的解x,y).(⑤)可行域：所 有 组成的集合.（⑥最优解：使 取得最大值或最小值的可行解。 6.利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：()在平面直角坐标系内作出可行 域.(2)作出目标函数的等值线，(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从 而确定 二 典例精析 二。典例精析 题型一：利用基本不等式求最值 例1：(1)已知x0,y>0,且1x+9y=1,求x+y的最小值： (2)已知x<54,求函数y=4x一2+14x一5的最大值： (3)若0<x<12,则y=x1一4x2的最大值为 变式训练1：(1)已知a>0,b0,a+b=2,则y=1a十4b的最小值是 (2)已知x)=x+4x十1+2(>-1)，则x)的最小值是 (3)已知0<43，则x(4一3x)的最大值为： 题型2：简单的线性规划 例2：变量x、y满足x一4y十3≤0,3x+5y-25≤0，x≥1，(1)设z=4x-3y,求z的最大 值： (2)设z=yx,求z的最小值；(3)设z=x2+y,求z的取值范围. 变式训练2：己知x一y十2≥0，x十y一4≥0,2x-y一5≤0，求：(1)z=x+2y-4的最大值： (2)z=x2+y2-10y+25的最小值；(3)z=2y+1x+1的范围. 三.方法规律总结 1.a2+b2≥2ab对a、beR都成立：a+b2≥ab成立的条件是a,beR+:ba+ab≥2成立 的条件是ab>0,即a,b同号. 2。利用基本不等式求最值必须满足一正，二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有 最大值，积为定值时，和有最小值， 3.使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法。一般地函数y=十bx, 当a>0,b0时，函数在（一∞，0），(0，十∞)上是增函数：当a<0,b>0时，函数在(-∞， 0),(0,+oo)上是减函数：当a>0,b>0时函数在一r0fba),0),alvs4 alicol(0, rfba)上是减函数，在aws4 alcol(-o,一r0fba),avs4al小col(r(f(ba),十o)上是增 函数；当a<0,b<0时，可作如下变形：y=一口-ax口+blc0c)0avs4 al col(-fbx)来 解决最值问题. 4.在直角坐标系xOy内，已知直线1：Ax十By十C=0与点Po,%),若Axo十Bo十C0, 则点P在直线1上方，若Ax十By十C<0,则点P在直线1下方. 5.在直线1：Ax+十C=0外任意取两点P,)、Q,2,若P、Q在直线1的同 侧，则A十B1十C与A2十B2十C同号：若P、Q在直线I异侧，则A十By1十C与Ax2 十B2十C异号，这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”， 6.线性规划解决实际问题的步骤：①分析并将已知数据列出表格：②确定线性约束条件： ③确定线性目标函数：④画出可行域：⑤利用线性目标函数（直线）求出最优解：⑥实际问题 需要整数解时，应适当调整，以确定最优解， 四.课后练习作业 一，选择题 1.不等式(x一2y+1)x十y一3)≤0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示）应 是() 2.已知x>0,y>0,且x十2y=2,则x( A.有最大值为1B.有最小值为1C.有最大值为12D.有最小值为12 3.若正实数a,b满足a+b=1,则1a十3弘的最小值为() A.43B.6C.23D.4+23 4.设x>0,则函数y=x十22x+1-32的最小值为( ) A.0B.12C.1D.32 5.若点（一2,0在直线2x一3y十6=0的上方，则t的取值范围是(） A.(13,+∞)B.(23,+∞)C.(-∞，13)D.(-∞，23)