第22讲 不等式问题讲义-2024届陕西省高三理科数学一轮复习

第23讲 不等式问题 一，基础知识回顾 1.两个实数大小的比较 ()作差法：设a,b∈R,则a>b-a一b>0,a<b-a一b<0,这是比较两个实数大小和运用比 较法的依据， (2)作商法：依据：设a>0,b>0,则a>b- ，a<baab<l. 2.不等式的性质(1)对称性：a>b= ；(2)传递性：a>b,b>c= (3)加法性顾：a>be；推论：a>b,c>d5 (4)乘法性质：a>b,c>0= ；推论：a>b>0,c>d0= (⑤)乘方性质：a>b>0= ；(⑥开方性质：a>b>0= (7)倒数性质：a>b,ab>0= 3.一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的不等式叫一 元二次不等式： 4.二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 △>0 △=0 △<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ax2+bx+c=0 x1,x2(x1<x2) X1=x2=- 6 无实根 (a>0的根 2a ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 二。典例精析 题型一：数与式的大小比较 例1：(1)设xy0,试比较(x2+y2x-y)与(a2-y2)+y)的大小； (2)已知a,b,c∈{正实数}，且a2+b2=c2,当n∈N,>2时，比较c与a+b的大小. 变式训练1：已知a>2,b>2,试比较a十b与ab的大小. 题型二：求字母或代数式范围问题 例2：(1)已知12<a<60,15<b36,求a一b及ab的取值范围. (2)设x)=2+bx,1≤贰一1)≤2,2≤1)≤4，求(-2)的取值范围. 变式训练2：(1)己知一元2≤a≤x2,0≤B≤π，则2a-2的范围为 (2)已知一1x十4且2x一y3,则=2x一3y的取值范围为·（答案用区间表示） 题型三：分式不等式及一元高次可解不等式解法 例3：解下列不等式： (1)x十12-x≥-2：(2)x2+2x-3-x2+x十6≤0. 变式训练3：解下列不等式： (1)x+2x2+x+1>1:(2)3x-2≤1-2x+2. 题型4：含参数的一元二次不等式的解法 例4：已知常数a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a<0. 变式训练4：解关于x的不等式ax2-(a十1)x+1<0. 题型5：一元二次不等式恒成立问题 例5：已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当x∈[-1，+o)时，f(x)≥a恒成立，求a的取 值范围. 变式训练5：(1)关于x的不等式4x十mx2一2x+32对任意实数x恒成立，求实数m的取值 范围 三.方法规律总结 1.数或式的大小比较常见的思路：一是采用作差（或作商）比较法：二是直接应用不等式的 性质或基本不等式：三是利用函数的单调性，在不等关系的判断及数或式的大小比较过程中 等价转化是关键， 2.由Mi(a,b)W和M(a,b)W,求g(a,b)的取值范围，固然要将已知两个不等式 相加，但不等式相加的次数应尽可能少，以免将取值范围扩大，这时可以用所谓的“线性相 关值”，令g(a,b)=(a,b)十qfi(a,b),用恒等关系求出待定系数p,q,于是一次相加， 便可求到所需要的范围， 3.三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函 数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和 元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联 系，通过二次函数的图象及性质来解决，一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次 方程的根，也是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点 4.解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1 二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系 数为正的形式2°判断方程的根的个数，讨论判别式4与0的关系3°确定无根时可直接写出解 集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式。 5.不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R,一元二次不等式a2十br十c >0(a≠0恒成立的条件是a>0,△=b2-4ac0:)r2+br+c<0(a≠0恒成立的条件是a <0,△=b2-4ac<0.) 四.课后练习作业 一，选择题 1.已知a,b,c满足a>b>c,且ac>0,则下列选项中一定能成立的是( A.ab>ac B.c(b-a)>0 C.ab(a-c)>0 D.cb2>ca2 2.已知0<a<1b,且M=11十a+11十b,N=al十a十b1十b,则M,N的大小关系是() A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定 3