21.2.4一元二次方程的根与系数的关系同步练习2023-2024学年人教版九年级数学上册

第 5 课时 一元二次方程的根与系数的关系 知识点①一元二次方程的根与系数的关系 1.方程ax²+bx+c=0(a≠0),当_时,方程有实数根x₁，x₂.这两个根与系数的关系是： x₁+x₂=_,x₁·x₂=_.　运用根与系数的关系解决问题的前提是方程有实数根，即_. 2.关于x的一元二次方程3x²-2x+m=0有两根,其中一根为x=1,则这两根之积为( ) A. B. C.1 3.已知m,n是一元二次方程x²+2x-5=0 的两个根,则m²+mn+2m的值为( ) A.0B.-10C.3D.10 4.在解一元二次方程x²+px+q=0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是-3，1.小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，-4，则原来的方程是() A. x²+2x-3=0 B. x²+2x-20=0 C. x²-2x-20=0 D. x²-2x-3=0 5.设x₁,x₂是方程x²+2x-3=0的两个实数根，则 的值为_. 6.若实数 a,b分别满足a²-4a+3=0,b²-4b+3=0,且a≠b,则 的值为_. 知识点②用一元二次方程的根与系数关系求字母值 7.若x= -2是一元二次方程x²+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是( ) A.0,-2B.0,0 C.-2,-2D.-2,0 8.已知关于x的方程x²-(2m-1)x+m²=0的两实数根为x₁,x₂,若((x₁+1)·(x₂+1)=3,!则m的值为( ) A. -3B. -1 C.-3或1D.-1或3 9.关于x的一元二次方程2x²+mx+m=0 有两个不同的实数根x₁,x₂,且 则m=_. 10.已知关于x的一元二次方程x²+(2k+1)x+k²+1 =0有两个不等实数根x₁,x₂. (1)求k的取值范围； (2)若x₁x₂=5,求k的值. 题型①一元二次方程的根与系数的关系在求代数式值中的应用 11.阅读材料: 材料1 若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根为x₁,x₂,则x₁+ 材料2 已知一元二次方程x²-x-1=0的 两个实数根分别为m，n，求：m²n+mn²的值. 解：∵一元二次方程x²-x-1 =0的两个实 数根分别为m,n,∴m+n=1, mn= -1. 则m²n+mn²=mn(m+n)= -1×1= -1. 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程2x² -3x-1=0的两个根为x₁,x₂,则.x₁+x₂=_,x₁x₂=_. (2)类比应用：已知一元二次方程2x²-3x-1=0的两根分别为m，n，求 的值. (3)思维拓展：已知实数s，t满足2s²-3s-1 =0,2t²-3t-1 =0,且s≠t,求 的值. 题型②一元二次方程的根与系数的关系在求满足关系式的字母值中的应用 12.已知关于x的一元二次方程x²+3x+k-2=0有实数根. (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为x₁，x₂，若((x₁+1)(x₂+1)= -1,求k的值. 13.阅读材料,解答问题: 　材料1 为了解方程(x²)²-13x²+36 =0,如果我们把x² 看作一个整体，然后设y=x², 则原方程可化为y²-13y+36=0,经过运算，原方程的解为 我们把以 上这种解决问题的方法通常叫做换元法. 　材料2 已知实数m，n满足m²-m-1=0,n²-n-1=0,.且m≠n,显然m,n是方程x²-x-1=0的两个不相等的实数根. 根据上述材料，解决以下问题： (1)方程x⁴ -5x²+6=0的解为__; (2)已知实数a,b满足:2a⁴-7a²+1 =0,2b⁴-7b²+1 =0且a≠b,求a⁴+b⁴的值； (3)已知实数 m,n满足: 且n>0,求 的值. 2. D 3. A 点拨：由m，n是一元二次方程x²+2x-5=0的两个根，根据根与系数的关系可得mn= -5，由m是方程的一个根，可得m²+2m-5=0,即m²+2m=5. m²+mn+2m=m²+2m+mn,再把m²+2m， mn的值整体代入计算即可. 4. B 5.10 点拨：由实数a，b分别满足a²-4a+3=0,b²-4b+3=0,且a≠b,知a,b可看作方程x²-4x+3=0的两个不相等的实数根，据此可得a+b=4, ab=3.原式 将a+b, ab的值代入即可得出答案. 7. B 8. A 点拨:∵方程x²-(2m-1)x+m²=0的两实数根为x₁,x₂, ∴x₁+x₂=2m-1,x₁x₂=m². ∵(x₁+1)(x₂+1)=x₁x₂+x₁+x₂+1=3, m²+2m-1+1=3,解得m₁=1,m₂= -3. ∵方程有两实数根，∴Δ=(2m-1)²-4m²≥0,即 ∴m=1 不合题意,舍去.