2.2 基本不等式常见题型汇总讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式常见题型汇总 题型一 基本不等式求最值技巧——拆、并、配 例1 （1）函数的最大值是_________. （2） 函数的最小值是___________。 （3） 若时正数，则的最小值是_________。 答案：（1） （2）8 （3）4 例2 若实数满足，则的最小值是________。 答案：4 解法指导： 1. 拆——裂项拆项。当分子的次数高于分母的次数时，将分式进行整式拆分——分拆成整式与“真分式”的和，再根据分式分母的形式对整式进行凑项，为应用基本不等式创造条件。 2. 并——分组并项。目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先部分应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值。 3. 配——配式、配系数。为使“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件进行合理配式或配系数，使匹配后的和式中两部分乘积为定值，或配以恰当的系数后，使积式中的两项之和为定值。 学以致用 1. 已知，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 2. 已知，则的最小值为______ 3. 若，则的最小值为_______。 答案：1. B 2. 9 3. 4 题型二 “1”的代换与消元法 例3 已知，且，则的最小值为_______。 答案：16（两种解法求解） 例4 当时，的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 答案：B 学以致用 已知，且，则的最下值为（ ） A. B. C. 9 D. 7 答案：A 题型三 求同时含有与类型的最值问题 例5 若正数满足，则的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案：5（两种解法：消元法和“1”的代换） 学以致用 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 答案：A 题型四 恒成立问题 例6 设，不等式恒成立，则的最小值为_____。 答案： 学以致用 已知，若不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 10 答案：A 题型五 与3个实数有关的最值问题 例7 设正实数，满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 答案：C 学以致用 已知实数满足，则的最大值是 答案： 练习： 1. （多选题）若满足，则（ ） A. B. C. D. 2. （多选题）若则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 3. （多选题）下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 函数的最小值为2 C. 已知，则的最小值为 D. 若正数满足，则的最小值为3 4. 若，则的最小值为_________ 5. （多选题）下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则的最小值为 C.若，，则 D. 若实数满足，，则的最小值为2 练习答案： 1. BC 2. 3. AC 4. 5. CD $$