【数学思想】第1讲：转化与化归思想在三角函数中的应用-备战2024高考数学二轮复习讲义

第1讲 转化与化归思想在三角函数中的应用 转化与化归思想: 就是把待解决或难解决的问题通过数学方法、数学模型、数学思维、数学运算，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解。使用化归与转化思想的原则是: 化难为易、化异为同、化生为熟、化繁为简、化未知为已知。 在三角函数学习中，从三角函数的概念建立、推理证明、计算化简到实际问题的解决，始终贯穿着转化与化归思想的运用。如利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用三角函数之间互余关系实现对“正余弦”进行转化，利用同角关系及“1”的妙用可以实现弦切互化。在有关三角函数的最小正周期、三角函数求值、三角函数的图象及性质、三角函数的值域、三角函数的伸缩平移变换及三角恒等变换的问题中，经常涉及到代换思想、类比思想和转化思想等来解决问题，这些均体现了转化与化归思想在三角函数中的重要性及其重要应用。 在学习和使用转化与化归思想时，一定要明确转化目标，转化方向，有了转化目标和方向后，接下来的重点思想是如何向我们的目标和方向进行转化。而本文会重点就转化与化归思想在三角函数中的5类应用展开详细讲解。 【应用一】转化与化归思想在三角函数求最小正周期中的应用 我们在学习三角函数图象及性质及三角恒等变换时，会直接用公式求（）的周期，但有时也会遇到这样一类题，给定的函数解析式包含正弦和余弦，或为高次式，此时则无法用周期公式直接求解；需要对函数解析式进行函数名的统一或降次化简，从而转化为（）的形式，即可求解，变换过程的实质就是“化归”思想。例如下面这道例题： 【例1】（四川成都·成都七中校考一模）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 在我们熟悉的求解最小正周期的问题中，经常遇见给定的函数解析式是可以直接用周期公式求解的，而本题无法直接通过周期公式求解，那该怎么转化呢？这就需要我们利用相关公式把函数解析式化解为一个函数名，要么是正弦、要么是余弦，首先我们要把转化为，则 即可计算求解 【思维提升】 通过本题我们不难发现，对于给定的解析式无法直接用周期公式求解时，我们都可以用转化与化归思想，对函数解析式进行化简来统一函数名，进而用周期公式求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究复杂型的三角函数周期问题 【变式1.1】（全国·校联考模拟预测）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（湖北武汉·校联考一模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2021·全国·统考高考真题）函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 【应用二】转化与化归思想在三角函数给值求值及拼凑角中的应用 我们在学习三角函数诱导公式及三角恒等变换时，常见的给值求值会比较好化简，常见的拼凑角可以转化成特殊角处理，但有时也会遇到这样一类题，给定的角为非特殊角，需要多次拼凑才能实现特殊转化，需结合诱导公式和恒等变换求解，这样把角通过拼凑来整体转化，其实质就是“化归”思想。例如下面这道例题： 【例2】（2019·全国·高考真题）tan255°= A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+ 在我们求角的三角函数值时，遇到的角如为特殊角，则通过特殊角的三角函数值直接求值即可；而本题的为非特殊角，则解题的关键在于如何把非特殊角通过拼凑转化为特殊角，即可表示为，先用诱导公式进行第一步转化，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步对进行拼凑为，应用两角和的正切公式计算求解． 【思维提升】 通过本题我们不难发现，对于给定非特殊角求值问题，我们都可以用转化与化归思想，对待求角进行拼凑转化，结合诱导公式及三角恒等变换公式来作为解题突破口，从而通过学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究三角函数给值求值问题。 【变式2.1】（2017·江苏·高考真题）若,则 . 【变式2.2】（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（2023·重庆巴南·统考一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【应用三】转化与化归思想在三角函数伸缩平移变换中的应用 我们在学习三角函数伸缩平移变换及三角恒等变换综合时，会遇到这样一类题，为异名三角函数的伸缩平移变换。这类题型解题关键在于用诱导公式及三角恒等变换公式来统一函数名，通常用 进行正弦化余弦，用进行余弦化正弦，进而求解，其实质就是“化归”思想。例如下面这道例题： 【例3】（2022·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）若要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长