2024届上海市高考数学新高考新教材新增知识系列：4 微专题 例析反证法与逻辑连接词的交汇 数学方法：反证法

微专题 例析反证法与逻辑连接词的交汇 【学生版】 学习笔记 了解与理解新高考； 明确与体验新教材 知道与掌握新知识； 知识梳理 结合现行【沪教版2020】高中教材的布局，因为不想要求学生记忆太多的逻辑术语，特地将课程标准要求中的全称量词命题的否定、 存在量词命题的否定等内容都融入到反证法的学习中；在整个高中数学学习的续章节的学习中， 反证法是以运用得相当广泛的论证方法； 1、反证法是间接证明的一种基本方法． 2、假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 3、反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这些矛盾可以是 (1)与假设矛盾； (2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾； (3)与公认的简单事实矛盾(例如，导出0＝1,0≠0之类的矛盾)； 4、用反证法证明命题“若p则q”的过程包括下面三个步骤： (1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真； (2)归谬——由“反设”作为条件出发经过一系列正确的推理，得出矛盾； (3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立． 简单概括反证法的证明过程就是“反设→归谬→存真”． 5、宜用反证法证明的题型 (1)命题的条件与结论之间联系不明显，直接证明较困难． (2)如果直接证明，需要分多种情形讨论，而从反面入手则仅有一种情形或很少几种情形． (3)直接判断显然成立的命题，否定性命题，含“至多”、“至少”等词语的存在性命题． 典题例析 题型一、用反证法证明否定（肯定）命题　 例1、用反证法证明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为（ ） A．整数 B．奇数或偶数 C．自然数或负整数 D．正整数或负整数 【提示】； 【答案】； 【解析】 学习笔记 例2、设{an}是等比数列，公比为q，Sn为它的前n项和． （1）求证：数列{Sn}不是等比数列； （2）数列{Sn}是等差数列吗？为什么？ 【提示】； 【解析】 【说明】通过本题说明结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法，通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，很容易推出矛盾，从而达到证题的目的； 题型二、利用反证法证明唯一性问题　 例3、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是(　　) A．假设至少有一个钝角 B．假设没有一个钝角 C．假设至少有两个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 【说明】本题主要考查反证法的应用，熟记反证法的概念即可，属于基础题型. 学习笔记 例4、已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点，且a∥b.求证：过a，b，m有且只有一个平面． 【说明】用反证法证明唯一性命题的一般思路；证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性； 题型三、用反证法证明“至多”或“至少”类的问题　 例5、设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋（ ） A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2 例6、已知x，y，z均大于零，求证x＋，y＋，z＋这三个数中至少有一个不小于4. 【说明】本题揭示当命题出现“至多”或“至少”“唯一”等形式时，适合用反证法；至于什么情况下可用反证法，应依据问题的具体情况而定，切忌滥用反证法，一般来说，当非命题比原命题更具体、更明确、更简捷，易于推出矛盾时，才便于用反证法．如题目中含有“至多”、“至少”等字眼时，可用反证法；学习笔记 题型四、用反证法证明存在性问题　 例7、已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点． 例8、若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增． 求证：函数f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 学习笔记 方法归纳 用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确，否定结论要对结论的反面一一否定，不能遗漏，注意用反证法解题时，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立”等相矛盾； 反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(